Đến nội dung

Hình ảnh

Tuần 4 tháng 8/2015


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Xin lỗi anh em vì sự chậm trễ. Như vậy đã có bài mới Tuần 4 tháng 8:

Bài 2. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$. $E,F$ lần lượt là hình chiếu của $H$ lên $CA,AB$. Gọi $K,L,N$ lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp đỉnh $H$ của tam giác $HBF,HCE,HEF$. Chứng minh rằng $A$ là tâm nội tiếp tam giác $KLN$.

Screen Shot 2015-08-24 at 3.28.21 pm.png

 

Lời giải của bài trước cũng đã được đưa vào trong số tuần này. :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 24-08-2015 - 12:44

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#2
Bui Ba Anh

Bui Ba Anh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 562 Bài viết

Cám ơn Toàn về sự quan tâm và lời giải rất hay :), hãyđón đọc số tuần sau nhé :)!

Dạ thưa thầy cho e hỏi trong lời giải đăng trên derakynay1187 của tuần trước, tại sao $OT //SN$ ạ?


NgọaLong

#3
quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết

Đúng là chỗ đó thầy làm hơi tắt quá. Giải thích kỹ hơn như sau $PT//OM$ hơn nữa $OP//TM$ vì cùng vuông góc với dây cung chung của $(AEF)$ và $(O)$, chú ý dây cung chung này chính là phân giác ngoài góc $A$. Từ đó $POMT$ là hbh nên $POJM$ cũng là hbh hay $N$ là trung điểm $OM$.



#4
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Hiện tại mình mới bắt tay vào tìm lời giải bài này. Chưa định hướng được hướng đi sẽ như thế nào nhưng lúc đang vẽ hình, mình có tìm thấy một số tính chất ở hình. Các tính chất này một số cái mình chưa biết chứng minh. Mình nghĩ tính chất này sẽ góp phần nào giải được bài toán nên xin đăng lên để anh em cùng thảo luận tiếp. :)

 

Screen Shot 2015-08-28 at 8.06.07 pm.png

 

  1. $KF \parallel LE$ và cùng vuông góc với $NH$.
  2. $N,K,F,A$ cùng thuộc một đường tròn.
  3. $\angle KNA=45^{\circ}$.
  4. $\angle NFE= \angle KBF$.
  5. $\triangle BKH \sim \triangle FHN$.

Ba tính chất 1,4,5 mình đã chứng minh được. Còn 2 thì mình đang suy nghĩ tiếp.   :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 28-08-2015 - 18:43

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#5
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Lời giải.

Screen Shot 2015-08-29 at 9.01.16 am.png

Ta có $\triangle KFH \sim \triangle HEL \; ( \text{g.g})$ nên $\frac{KF}{KH}= \frac{HE}{HL}$ hay $\frac{KF}{FA}= \frac{KH}{HL}$. Ta cũng có $\angle KHL= \angle KFA=135^{\circ}$ suy ra $\triangle KFA \sim \triangle KHL$. Từ đây dẫn đến $FH \cap AL=X$ thì $X \in (KFA), X  \in (KHL)$.

 

Chứng minh tương tư thì nếu $KA \cap HE=Y$ ta sẽ tìm được $Y \in (AEL), Y \in (LKH)$. Như vậy $X,Y,K,H,L$ cùng thuộc một đường tròn. 

 

Gọi $N'= (KFA) \cap (AEL)$. 

 

i) Chứng minh $A$ là tâm nội tiếp của tam giác $N'KL$.

 

Ta có $\angle KN'A=180^{\circ}- \angle KFA=45^{\circ}= \angle AN'L$ dẫn đến $N'A$ là phân giác của $\angle KNL. \qquad (1)$

 

Từ $\triangle KFH \sim \triangle HEL$ ta dễ dàng suy ra $\triangle KAF \sim \triangle ALE \; ( \text{c.g.c})$. Do đó $\angle KAL=135^{\circ}$ dẫn đến $\angle XAK= 45^{\circ}= \angle KN'A$. Như vậy $\angle XN'A=90^{\circ}$. Tương tự ta cũng có $\angle YN'A=90^{\circ}$ suy ra $X,N,Y$ thẳng hàng.

 

Vì $N,Y,X$ thẳng hàng, $H,E,Y$ thẳng hàng và $Y,L,X,H$ cùng thuộc một đường tròn nên ta suy ra $L$ là điểm thoả mãn $\triangle LEH \sim \triangle LAK$ (tính chất của spiral similarity, mình không biết TV của từ này là gì  :(  ). Do đó $\angle N'XA= \angle LXN'= \angle LHE= \tfrac 12 \angle B= \angle AKL$. Từ đây ta suy ra $KA$ là phân giác $\angle N'KL. \qquad (2)$  

 

Từ $(1)$ và $(2)$ ta suy ra $A$ là tâm nội tiếp của tam giác $N'KL$.

 

ii) Chứng minh $N \equiv N'$.

 

Cũng vì $\angle LXN'= \tfrac 12 \angle B$ (cm trên) và $\angle LXN'= 90^{\circ}- \angle N'AX=90^{\circ}- \angle N'FX$ nên $\angle N'FX= 90^{\circ}- \tfrac 12 \angle B= \angle NFX. \; \; \; \qquad (3)$

 

Ta có $\angle FKA= \angle FN'A$ và $\angle AN'E=\angle ALE$ mà $\angle ALE+ \angle AKF=45^{\circ}$ (vì $\triangle KFA \sim \triangle AEL$) nên $\angle FN'A+ \angle AN'E=\angle FNE=45^{\circ}= \angle FNE$. Do đó $N,N',E,F$ cùng thuộc một đường tròn.         $(4)$.

 

Từ $(3)$ và $(4)$ ta suy ra $N \equiv N'$.

 

Như vậy, $A$ chính là tâm nội tiếp của tam giác $NKL$.

 

Lời giải của mình khá dài, không biết có ai có cách nào gọn hơn không. :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 29-08-2015 - 06:18

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#6
quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết

Cám ơn Toàn về đóng góp những ý tưởng hay từ cấu hình này và lời giải hay, lời giải của thầy hơi mẹo mực một chút, hãy đón đọc vào thứ 2 nhé :), bài này là một bài thầy thích về tính đơn giản của đề bài và tính không đơn giản của lời giải :D



#7
quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết

Spriral similarity hiểu theo nghĩa tiếng Việc là một phép "vị tự quay", ở đây trong thuật ngữ tiếng Việt, phép "vị tự quay" là tích của phép quay và phép vị tự với tâm quay và tâm vị tự trùng nhau, đương nhiên nó là một phép đồng dạng đặc biệt.



#8
Drago

Drago

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 462 Bài viết

 

 Ta cũng có KHL=KFA=135∠KHL=∠KFA=135∘ suy ra KFAKHL△KFA∼△KHL. Từ đây dẫn đến FHAL=XFHAL=X thì X(KFA),X(KHL)X(KFA),X(KHL)

  

Đoạn này chứng minh như thế nào anh Zaraki?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 24-04-2017 - 13:08

$\mathbb{VTL}$





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh