Đến nội dung

Hình ảnh

Tuần 3 tháng 8/2015


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Đề của tuần này được đưa ra trong Tuần 3 tháng 8. Xin trích dẫn lại đề:

 

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ có tâm nội tiếp $I$, tâm bàng tiếp ứng với đỉnh $A$ là $J$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AIB,AIC$ lần lượt cắt $CA,AB$ tại $E,F$ khác $A$. Tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt $BC$ tại $D$. Chứng minh $DA=DJ$.

 

t3t8.png

 


 

Cuối cũng cũng nghĩ ra bài này.  :D

Vì $AEIB$ nội tiếp nên $\angle CEI= \angle ABI= \angle CBI$. Kết hợp với $\angle ECI= \angle ICB$ ta suy ra $EC=BC$. Chứng minh tương tự $BC=BF$.

Từ điều kiện trên, ta lược bỏ một số dữ liệu thừa của bài toán để được bài toán mới:

 

Cho tam giác $ABC$ có tâm nội tiếp $I$, tâm bàng tiếp ứng với đỉnh $A$ là $J$. Lấy $E,F$ trên tia $CA,BA$ sao cho $EC=BF=BC$. Tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt $BC$ tại $D$. Chứng minh $DA=DJ$.

 

Điều kiện $EC=BF=BC$ khiến ta liên tưởng tới bổ đề sau:

 

Bổ đề 1. Cho tam giác $ABC$ có tâm nội tiếp $I$, tâm ngoại tiếp $O$. $M,N$ lần lượt là đối xứng của $B,C$ qua $IC,IB$. $X$ là tâm đường tròn nogaij tiếp $\triangle AMN$. Khi đó 

i) $MN \perp OI$.

ii) Bán kính đường tròn ngoại tiếp $\triangle AMN$ bằng $OI$.

iii) $A,X,I,O$ cùng thuộc một đường tròn.

 

Chứng minh bổ đề có thể tham khảo tại đây.

 

Điều kiện cần chứng minh $DA=DJ$ khiến ta liên tưởng tới bổ đề sau:

 

Bổ đề 2. Cho tam giác $ABC$ có tâm nội tiếp $I$, tâm ngoại tiếp $O$, tâm bàng tiếp ứng với đỉnh $A$ là $I_a$. Đường thẳng qua $I_a$ vuông góc với $OI$ cắt $BC$ tại $K$. Chứng minh $KI_a=KA$.

Chứng minh

 

Screen Shot 2015-08-20 at 8.14.42 am.png

Quay lại bài toán, từ $J$ kẻ đường vuông góc với $OI$ cắt $BC$ tại $D'$. $X$ là tâm của $(AEF)$, $T$ là điểm chính giữa cung $BC$ của $(O)$. Ta suy ra $T$ cung là điểm chính giữa cung $FE$ của $(X)$. Ta cũng có $TA \perp IA$.

Khi đó theo Bổ đề 1 iii) thì $$\angle D'JI = 90^{\circ}- \angle OIJ=90^{\circ}- \angle AXO =\angle XAT.$$

Theo Bổ đề 2 ta có $D'J=D'A$ nên $\angle D'AJ= \angle D'JA= \angle XAT$. Kết hợp với $\angle TAJ=90^{\circ}$ ta suy ra $\angle XAD'=90^{\circ}$ hay $D'A$ là tiếp tuyến tại $A$ của $(X)$. Do đó $D \equiv D'$. Như vậy $DA=DJ$.

 

May mà có đọc được bổ đề 1 trong tài liệu này của thầy Hùng. :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 18-04-2016 - 22:24

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#2
quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết

Cám ơn Toàn về sự quan tâm và lời giải rất hay :), hãyđón đọc số tuần sau nhé :)!



#3
Bui Ba Anh

Bui Ba Anh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 562 Bài viết

Cảm ơn bạn Zaraki và thầy Trần Quang Hùng

Hy vọng Zaraki tiếp tục cập nhật các bài của các tháng tiếp theo ở đây


NgọaLong

#4
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Bổ đề 2. Cho tam giác $ABC$ có tâm nội tiếp $I$, tâm ngoại tiếp $O$, tâm bàng tiếp ứng với đỉnh $A$ là $I_a$. Đường thẳng qua $I_a$ vuông góc với $OI$ cắt $BC$ tại $K$. Chứng minh $KI_a=KA$.

Lang thang trên mạng thì kiếm được một chứng minh khác của thầy Hùng cho Bổ đề 2 tại đây:D  Mình sẽ post lời giải của thầy bên đó lên đây để anh em cùng nghiên cứu.  :namtay

 

Ở chứng minh của thầy Hùng, thầy xét thêm một bổ đề khác nữa, tạm gọi là bổ đề 3.

Bổ đề 3. Tam giác $ABC$ với đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H$. $EF$ cắt trung trực của $AD$ tại $X$. Lúc đó $AX \perp OH$ khi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Chứng minh

 

Áp dụng bổ đề 3, cho tam giác $I_aI_bI_c$ với đường cao $I_aA,I_bB,I_cC$ đồng quy tại $I$ với để ý rằng $OI$ chính là đường thẳng Euler của tam giác $I_aI_bI_c$. Ta suy ra trung trực $AI_a, BC$ và đường thẳng từ $I_a$ vuông góc $OI$ đồng quy tại một điểm, điểm đó chính là $K$. Hay nói cách khác, $KI_a=KA$. Bổ đề 2 được chứng minh. 


Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#5
quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết

Cám ơn Toàn đã dẫn lại link, đúng là một lời giải hay lâu rồi thầy cũng quên mất :), qua link đó ta cũng thấy bài toán này và bài chọn đội tuyển Đài Loan 2014 có liên quan mật thiết với nhau. Xin được trích dẫn lại bài chọn đội Đài Loan 2014 như sau

 

Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ và tâm ngoại tiếp $O$. $OI$ cắt tiếp tuyến của $(I)$ song song với $BC$ tại $M$. Cũng trên tiếp tuyến này lấy điểm $N$ sao cho $IN\perp IO$. Chứng minh rằng bốn điểm $A,M,O,N$ cùng thuộc một đường tròn.

 

Đây là một bài toán hay có nhiều nghĩa và có nhiều phát triển rất thú vị.






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh