Chủ đề này có 5 trả lời

[ineX]

Cho các số thực dương $x,y,z$

Chứng minh rằng:

$P=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}+2\left [ \frac{xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)} \right ]^{\frac{2}{3}}\geq 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ineX: 20-04-2016 - 19:15

[PlanBbyFESN]

Cho các số thực dương $x,y,z$

Chứng minh rằng:

$P=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}+2\left [ \frac{xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)} \right ]^{\frac{2}{3}}\geq 2$

 

Lời giải:

[***]

 

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+Max\left \{ \frac{2ab}{(a+b)^{2}};\frac{2bc}{(b+c)^{2}};\frac{2ca}{(c+a)^{2}} \right \}\geq 2$

 

$\Leftrightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{2ab}{(a+b)^2} \geq 2$

 

$\Leftrightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{ca+cb+2ab}{(a+b)^2} \geq 2$

 

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{bc+ba} \geq \frac{(a+b)^2}{2ab+bc+ac}$    (C-S)

 

$\Rightarrow \frac{(a+b)^2}{2ab+bc+ca}+\frac{2ab+bc+ca}{(a+b)^2} \geq 2$        (AM-GM)

 

 

 

[***]

$2\left [ \frac{xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)} \right ]^{\frac{2}{3}}=2\sqrt[3]{\left [ \frac{xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)} \right ]^{2}}=2\sqrt[3]{\frac{xy}{(x+y)^{2}}.\frac{yz}{(y+z)^{2}}.\frac{zx}{(z+x)^{2}}}$

 

 

Không mất tính tổng quát, giả sử $\frac{xy}{(x+y)^{2}}$ là đại lượng nhỏ nhất trong $\left \{ \frac{xy}{(x+y)^{2}};\frac{yz}{(y+z)^{2}};\frac{zx}{(z+x)^{2}} \right \}$

 

$\Rightarrow 2\left [ \frac{xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)} \right ]^{\frac{2}{3}}\geq \frac{2xy}{(x+y)^{2}}$

 

 

 

Như vậy:

 

$\Rightarrow \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}+2\left [ \frac{xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)} \right ]^{\frac{2}{3}}\geq \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}+\frac{2xy}{(x+y)^{2}}\geq 2$

....................................................

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 27-04-2016 - 13:00

[PlanBbyFESN]

Bổ đề này được mình chế ở đây!

 

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\left \{ \frac{2ab}{(a+b)^{2}};\frac{2bc}{(b+c)^{2}};\frac{2ca}{(c+a)^{2}} \right \}\geq 2$

 

[Nguyenhuyen_AG]

Cho các số thực dương $x,y,z$

Chứng minh rằng:

$P=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}+2\left [ \frac{xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)} \right ]^{\frac{2}{3}}\geq 2$

 

Dễ thấy \[2\left [ \frac{xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)} \right ]^{\frac{2}{3}} \geqslant \frac{4xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)},\] nên ta chỉ cần chứng minh \[\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}+\frac{4xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)} \geqslant 2.\] Đây là bất đẳng thức Schur bậc 3 dạng phân thức nên nó hiển nhiên đúng.

[ineX]

Bổ đề này được mình chế ở đây!

giải thích giúp mình dấu $\left \{  \right \}$ có ý nghĩa gì vậy?

[PlanBbyFESN]

giải thích giúp mình dấu $\left \{  \right \}$ có ý nghĩa gì vậy?

 

À mình thiếu chữ $Max{...}$ phía trước. Nghĩa là biểu thức lớn nhất ở trong ngoặc đó!

 

Đã sửa ở trên