Chủ đề này có 1 trả lời

[duyanh782014]

Cho a,b,c thoả mãn $\sum (a+b-c)^{3}=\sum a^{3}$.Chứng minh a=b=c

[leminhnghiatt]

Cho a,b,c thoả mãn $\sum (a+b-c)^{3}=\sum a^{3}$.Chứng minh a=b=c

$(a+b+c)^3- \sum (a+b-c)^3=(a+b+c)^3- \sum a^3$

 

$(a+b+c)^3 - (a+b-c)^3 = (a+b+c -a-b+c)((a+b+c)^2 + (a+b-c)^2 + (a+b+c)(a+b-c))$

 

$=2c((a+b+c - a-b+c)^2 + 3(a+b+c)(a+b-c)) = 2c(4c^2 + 3(a+b)^2 - 3c^2) = 2c(c^2 + 3(a+b)^2)$

 

$(b+c-a)^3 + (c+a-b)^3 = (b+c-a+c+a-b)((b+c-a)^2 + (c+a-b)^2 - (b+c-a)(c+a-b))$

 

$=2c((b+c-a+c+a-b)^2-3c^2 + 3(a-b)^2) = 2c(c^2 + 3(a-b)^2)$

 

$\rightarrow (a+b+c)^3 - (a+b-c)^3 - (b+c-a)^3 - (c+a-b)^3 = 2c(c^2 + 3(a+b)^2) - 2c(c^2 + 3(a-b)^2)$

 

$=2c(3(a+b)^2 -3(a-b)^2) = 6c((a+b)^2 - (a-b)^2) = 6c(2a.2b) = 24abc$

 

Ta có: $(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3=3(a+b)(b+c)(c+a)$

 

Mà từ giả thiết suy ra: $8abc=(a+b)(b+c)(c+a)$

 

Hình như đề bài thiếu là $a,b,c>0$ vì ta luôn có:

 

$(a+b)(b+c)(c+a) \geq 2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}=8abc$

 

Dấu "=" có khi $a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 21-04-2016 - 17:10