Chủ đề này có 4 trả lời

[Van Chung]

$f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

$f(f(x+y))=f(x+y)+f(x).f(y)-xy$

 

[Ego]

Ta đặt $\begin{cases} a = f(0) \\ b = f(1) \\ c = f(-1)\end{cases}$ cho thuận tiện.
Quy ước $P(x, y): f(f(x + y)) = f(x + y) + f(x).f(y) - xy (*)$
$P(x, 0): f(f(x) = (a + 1)f(x)$
Do đó viết lại (*), ta có $(a + 1)f(x + y) = f(x + y) + f(x).f(y) - xy \iff af(x + y) = f(x).f(y) - xy$
Quy ước lại $Q(x, y): af(x + y) = f(x).f(y) - xy$
$Q(x, 1): af(x + 1) = bf(x) - x$
$Q(x, -1): af(x - 1) = cf(x) + x \implies af(x) = cf(x + 1) + x + 1 \implies cf(x + 1) = af(x) - x - 1$
Ta có hệ $\begin{cases} af(x + 1) = bf(x) - x \\ xf(x + 1) = af(x) - x - 1\end{cases} \implies f(x) = (a - c)x + a$
Nói cách khác $f(x)$ là một phương trình tuyến tính bậc nhất. Thế lại PT đầu ta thu được $f(x) = x \; \forall x \in \mathbb{R}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ego: 23-04-2016 - 11:58

[Van Chung]

Ta đặt $\begin{cases} a = f(0) \\ b = f(1) \\ c = f(-1)\end{cases}$ cho thuận tiện.
Quy ước $P(x, y): f(f(x + y)) = f(x + y) + f(x).f(y) - xy (*)$
$P(x, 0): f(f(x) = (a + 1)f(x)$
Do đó viết lại (*), ta có $(a + 1)f(x + y) = f(x + y) + f(x).f(y) - xy \iff af(x + y) = f(x).f(y) - xy$
Quy ước lại $Q(x, y): af(x + y) = f(x).f(y) - xy$
$Q(x, 1): af(x + 1) = bf(x) - x$
$Q(x, -1): af(x - 1) = cf(x) + x \implies af(x) = cf(x + 1) + x + 1 \implies cf(x + 1) = af(x) - x - 1$
Ta có hệ $\begin{cases} af(x + 1) = bf(x) - x \\ xf(x + 1) = af(x) - x - 1\end{cases} \implies f(x) = (a - c)x + a$
Nói cách khác $f(x)$ là một phương trình tuyến tính bậc nhất. Thế lại PT đầu ta thu được $f(x) = x \; \forall x \in \mathbb{R}$

Bạn giải thích chỗ màu đỏ giúp mình được ko? Cảm ơn bạn trước!!!

[Ego]

Ở đây ta xem như $f(x + 1) = m$ và $f(x) = n$. Ta có hệ $$\begin{cases} am = bn - x \\ xm = an - x - 1 \end{cases}$$ Nhiệm vụ chỉ là giải hệ thôi ạ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ego: 04-05-2016 - 11:14

[superpower]

$f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

$f(f(x+y))=f(x+y)+f(x).f(y)-xy$

Cách khác

Thay $y=0 => f(f(x))=f(x) +f(x)f(0) (1)$

Thay vào pt đầu, khi đó, ta được $f(x+y)f(0) = f(x)f(y) -xy  (2)$

Thay $y=-x => f^2(0) = f(x)f(-x) +x^2 $

Ta cần chứng minh $f(0)=0 $

Thay $x=f(0) => f(f(0))f(-f(0)) =0 $

TH1: $f(f(0)) = 0$

Từ $(1)$ thay $x=f(0) => f(0)=0 $

TH2: $f(-f(0)) =0 $

Từ $(1)$ thay $x=-f(0) => f(0) =0$

Vậy $f(0)=0 $

Khi đó từ $(2) => f(x)f(y) =xy => f(x)=xf(1) $

Thay vào, đc $f(x)=x $