Chủ đề này có 3 trả lời

[Ego]

Cho $n_{1}, n_{2}, \cdots , n_{k + 1}$ là các số nguyên dương sao cho $\gcd(n_{k + 1}, n_{i}) = 1 \; \forall i < k + 1$. Chứng minh rằng tồn tại vô số bộ số nguyên dương$ x_{i}$ sao cho $x_{1}^{n_{1}} + x_{2}^{n_{2}} + \cdots x_{k}^{n_{k}} = x_{k + 1}^{n_{k + 1}}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 25-04-2016 - 16:58

[Visitor]

Cho $n_{1}, n_{2}, \cdots , n_{k + 1}$ là các số nguyên dương sao cho $\gcd(n_{k + 1}, n_{i}) = 1 \; \forall i < k + 1$. Chứng minh rằng tồn tại vô số bộ số nguyên dương$ x_{i}$ sao cho $x_{1}^{n_{1}} + x_{2}^{n_{2}} + \cdots x_{k}^{n_{k}} = x_{k + 1}^{n_{k + 1}}$.

Số mũ lung tung nên đưa về bằng nhau cho dễ.

Đặt $A=n_{1}n_{2}...n_{k}$. CHọn $x_i=k^{l.\frac{A}{n_{i}}}$ , $:$ nào đó.

suy ra $x_i^{n_i}=k^{lA}\Rightarrow x_1^{n_1}+x_2^{n_2}+...+x_k^{n_k}=k^{lA+1}$

chỉ việc chọn $l$ sao cho $lA+1 \vdots n_{k+1}$ là ta sẽ có được $x_{k+1}=k^{\frac{lA+1}{n_{k+1}}}$.

Mà tất nhiên là có vô số $l$ như vậy nên cũng có vố số bộ tm.

[Ego]

Yeah, bài toán này mình chế ra hồi mới học về định lý Thặng Dư Trung Hoa, để ý đẳng thức là $k^{m} + k^{m} + \cdots + k^{m} = k^{m + 1}$

[babystudymaths]

Số mũ lung tung nên đưa về bằng nhau cho dễ.

Đặt $A=n_{1}n_{2}...n_{k}$. CHọn $x_i=k^{l.\frac{A}{n_{i}}}$ , $:$ nào đó.

suy ra $x_i^{n_i}=k^{lA}\Rightarrow x_1^{n_1}+x_2^{n_2}+...+x_k^{n_k}=k^{lA+1}$

chỉ việc chọn $l$ sao cho $lA+1 \vdots n_{k+1}$ là ta sẽ có được $x_{k+1}=k^{\frac{lA+1}{n_{k+1}}}$.

Mà tất nhiên là có vô số $l$ như vậy nên cũng có vố số bộ tm.

Mình cũng có một bài tương tự nhưng chưa có lời giair, mong các sư phu chỉ giáo

Cho $k_{1},k_{2},.., k_{2^{2105}},m$ là các số nguyên tố đôi một phân biệt. CMR pt sau có vô số nghiệm nguyên dương $(x_{1},x_{2}, ..., x_{2^{2015}}, y) : x_{1}^{k_{1}}+ x_{2}^{k_{2}}+ ...+ x_{2^{2015}}^{k_{2^{2015}}}= y^{m}$