Chủ đề này có 4 trả lời

[nuoccam]

Giải PT nghiệm nguyên: $x^y + y^x = z^y$

[I Love MC]

Ý bạn là thế này (mình thấy file của anh Toàn cũng có một bài như thế này nhưng không biết bạn có đăng đủ đề hay không) 
Tìm $x,y,z$ nguyên dương để : $\begin{cases} &x^y+y^x=z^y&\\&x^y+2012=y^{z+1}& \end{cases}$

[nuoccam]

Ý bạn là thế này (mình thấy file của anh Toàn cũng có một bài như thế này nhưng không biết bạn có đăng đủ đề hay không) 
Tìm $x,y,z$ nguyên dương để : $\begin{cases} &x^y+y^x=z^y&\\&x^y+2012=y^{z+1}& \end{cases}$

Xin lỗi bạn, nhưng mà file của anh ý ở đâu vậy bạn, cho mình xem đc ko?

[I Love MC]

https://phamquangtoa...lieu-chuyen-de/

[Chris yang]

Ý bạn là thế này (mình thấy file của anh Toàn cũng có một bài như thế này nhưng không biết bạn có đăng đủ đề hay không) 
Tìm $x,y,z$ nguyên dương để : $\begin{cases} &x^y+y^x=z^y&\\&x^y+2012=y^{z+1}& \end{cases}$

Vì chưa kiểm định được đề đúng hay sai nên làm theo đề của I Love MC nha 

PT $(2)$ dễ thấy $x,y$ cùng tính chẵn lẻ. Do đó từ PT $(1)$ suy ra $z$ chẵn. Mà $z\in\mathbb{Z}^+$ nên $z\geq 2$

TH1: $x,y$ cùng chẵn

Ta thấy $2^2||2012=y^{z+1}-x^y$. Mà $y^{z+1}\equiv 0\pmod 8$ nên $8\nmid x^y$. Do đó $y\leq 3\rightarrow y=2$, đồng thời $2||x$

Khi đó $x^2+2^x=z^2\rightarrow (z-x)(z+x)=2^x$. Đặt $z-x=2^m,z+x=2^n$ ( $m\neq n$) $\rightarrow 2x=2^m(2^{n-m}-1)$. Vì $2||x$ nên $m=2\rightarrow z=x+4$

Thay vào thì $x^2+2^x=(x+4)^2\rightarrow 2^x=16+8x\rightarrow x=6\rightarrow z=10$

 

TH2: $x,y$ cùng lẻ. Dễ thấy $y>1\rightarrow y\geq 3$

Ta có $2012+z^y=y^x+y^{z+1}=y^{x-1}y+y^z.y\equiv 2y\pmod 8$

Với $z$ chẵn, $y\geq 3$ thì $2012+z^y\equiv 2012\equiv 4\pmod 8$

$\Rightarrow 2y\equiv 4\pmod 8$. Do đó $y$ chẵn ( vô lý)

Vậy bộ $(x,y,z)=(6,2,10)$