Cho x,y,z >0 và $x^3+y^3+z^3=2$. Tìm GTNN
$P=\frac{x^4}{y+z}+\frac{y^4}{x+z}+\frac{z^4}{x+y}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pndpnd: 27-04-2016 - 21:29
Cho x,y,z >0 và $x^3+y^3+z^3=2$. Tìm GTNN
$P=\frac{x^4}{y+z}+\frac{y^4}{x+z}+\frac{z^4}{x+y}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pndpnd: 27-04-2016 - 21:29
Có cho x, y, z dương hay không âm không vậy bạn ?
Bạn ơi mình sửa đề rồi bạn nhé.
Cho x,y,z >0 và $x^3+y^3+z^3=2$. Tìm GTNN
$P=\frac{x^4}{y+z}+\frac{y^4}{x+z}+\frac{z^4}{x+y}$
Đặt
$$Q= x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)$$
Áp dụng BĐT $Schwarz$, ta có:
$$PQ\geq (x^3+y^3+z^3)^2=4(1)$$
Mà theo BĐT $Schur$ thì:
$$Q\leq x^3+y^3+z^3+3xyz\leq x^3+y^3+z^3+x^3+y^3+z^3=4(2)$$
Từ $(1),(2)\Rightarrow P\geq =1$
Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=\sqrt[3]{\frac{2}{3}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 27-04-2016 - 21:42
$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$
$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$
Cho x,y,z >0 và $x^3+y^3+z^3=2$. Tìm GTNN
$P=\frac{x^4}{y+z}+\frac{y^4}{x+z}+\frac{z^4}{x+y}$
* Bổ đề : $a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$ và $a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}$
Dễ chứng minh bằng Cauchy
* Ta có : $P=\frac{x^{4}}{y+z}+\frac{y^{4}}{z+x}+\frac{z^{4}}{x+y}=\frac{x^{6}}{x^{2}y+x^{2}z}+\frac{y^{6}}{y^{2}x+y^{2}z}+\frac{z^{6}}{z^{2}x+z^{2}y}\geq \frac{(x^{3}+y^{3}+z^{3})^{2}}{(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x)+(xy^{2}+yz^{2}+zx^{2})}\geq ...$ (Đọan này áp dụng bổ đề trên)
"Cuộc đời không giống như một quyển sách,đọc phần đầu là đoán được phần cuối.Cuộc đời bí ẩn và thú vị hơn nhiều ..." Kaitou Kid
Đặt
$$Q= x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)$$
Áp dụng BĐT $Schwarz$, ta có:
$$PQ\geq (x^3+y^3+z^3)^2=4(1)$$
Áp dụng BĐT $Schur$, ta có:
$$Q\leq x^3+y^3+z^3+3xyz\leq x^3+y^3+z^3+x^3+y^3+z^3=4(2)$$
Từ $(1),(2)\Rightarrow Q\geq =1$
Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=\sqrt[3]{\frac{2}{3}}$
từ (1)và (2)$\Rightarrow$P $\geq 1$ chứ không phải là Q
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh