Chủ đề này có 5 trả lời

[pndpnd]

Cho x,y,z >0 và $x^3+y^3+z^3=2$. Tìm GTNN

$P=\frac{x^4}{y+z}+\frac{y^4}{x+z}+\frac{z^4}{x+y}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pndpnd: 27-04-2016 - 21:29

[tquangmh]

Có cho x, y, z dương hay không âm không vậy bạn ?

[pndpnd]

Có cho x, y, z dương hay không âm không vậy bạn ?

Bạn ơi mình sửa đề rồi bạn nhé.

[tpdtthltvp]

Cho x,y,z >0 và $x^3+y^3+z^3=2$. Tìm GTNN

$P=\frac{x^4}{y+z}+\frac{y^4}{x+z}+\frac{z^4}{x+y}$

Đặt 

$$Q= x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)$$

Áp dụng BĐT $Schwarz$, ta có:

$$PQ\geq (x^3+y^3+z^3)^2=4(1)$$

Mà theo BĐT $Schur$ thì:

$$Q\leq x^3+y^3+z^3+3xyz\leq x^3+y^3+z^3+x^3+y^3+z^3=4(2)$$

Từ $(1),(2)\Rightarrow P\geq =1$

Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=\sqrt[3]{\frac{2}{3}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 27-04-2016 - 21:42

[tquangmh]

Cho x,y,z >0 và $x^3+y^3+z^3=2$. Tìm GTNN

$P=\frac{x^4}{y+z}+\frac{y^4}{x+z}+\frac{z^4}{x+y}$

 

* Bổ đề : $a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$ và $a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}$

Dễ chứng minh bằng Cauchy

 

* Ta có : $P=\frac{x^{4}}{y+z}+\frac{y^{4}}{z+x}+\frac{z^{4}}{x+y}=\frac{x^{6}}{x^{2}y+x^{2}z}+\frac{y^{6}}{y^{2}x+y^{2}z}+\frac{z^{6}}{z^{2}x+z^{2}y}\geq \frac{(x^{3}+y^{3}+z^{3})^{2}}{(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x)+(xy^{2}+yz^{2}+zx^{2})}\geq ...$ (Đọan này áp dụng bổ đề trên)

[manhbbltvp]

Đặt 

$$Q= x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)$$

Áp dụng BĐT $Schwarz$, ta có:

$$PQ\geq (x^3+y^3+z^3)^2=4(1)$$

Áp dụng BĐT $Schur$, ta có:

$$Q\leq x^3+y^3+z^3+3xyz\leq x^3+y^3+z^3+x^3+y^3+z^3=4(2)$$

Từ $(1),(2)\Rightarrow Q\geq =1$

Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=\sqrt[3]{\frac{2}{3}}$

từ (1)và (2)$\Rightarrow$P $\geq 1$ chứ không phải là Q