Đến nội dung

Hình ảnh

Topic các BĐT: Giả thiết đồng bậc

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 24 trả lời

#1
MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

 Tiếp nối topic tập hợp các BĐT: Đánh giá từng biến

 

http://diendantoanho...-giá-từng-biến/

 

, mình bắt đầu một chuỗi các bài toán khác với tên gọi: Giả thiết đồng bậc.

 

 Qua các bài toán được thảo luận dưới đây mình muốn tìm ra một tư duy chung để giải, mong các thành viên tham gia thảo luận và đóng góp ý kiến ạ.

 

 :))

 

 

 Hệ thống các bài toán:

 

 

 Bài toán 1:

 

 

 Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

 

$x^{2}+y^{2}-z^{2}=xy.$

 

 Chứng minh rằng:

 

$x^{3}+y^{3}-5z^{3}\leq -3xyz.$

 

 

 

 Bài toán này đã được mình thảo luận trước đó tại:

 

http://diendantoanho...t-đồng-bậc-1/



#2
MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

 Tiếp theo là:

 

 

 Bài toán 2: 

 

 

 Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

 

$x^{2}=-xy+3yz-zx.$

 

 Chứng minh rằng:

 

$\left ( x+y \right )^{3}-5\left ( y+z \right )^{3}+\left ( z+x \right )^{3}\leq -3\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )\left ( z+x \right ).$

 

 

 

 Mình đã tạo ra một topic riêng ở:

 

http://diendantoanho...t-đồng-bậc-2/

 



#3
MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

 Và cho hôm nay là:

 

 

 Bài toán 3:

 

 

 Cho x, y và z là ba số thực không âm, thoả mãn:

 
$5\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )=6\left ( xy+yz+zx \right ).$
 
 Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
 
$P=\sqrt{2\left ( x+y+z \right )}-\left ( y^{2}+z^{2} \right ).$


#4
MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

 Có bạn nào có ý tưởng cho bài toán 3 chưa?

 

 :)

 

 Mong các bạn tham gia thảo luận và đóng góp ý kiến.



#5
MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

 Bài toán 4:

 

 

 Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

 
$3z^{2}=xy+yz+zx.$
 
 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 
$P=4\left ( \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x} \right )-\frac{2xy}{z^{2}}+\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{z}.$


#6
MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

 Bài toán 5:

 

 

 Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

 
$x^{2}+y^{2}+z^{2}=-xy+2\left ( yz+zx \right ).$
 
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 
$P=\left ( \frac{z}{x+y-z} \right )^{2}+\frac{z^{2}}{x^{2}+y^{2}}+\frac{\sqrt{xy}}{x+y}.$


#7
MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

 Có thành viên nào có ý tưởng cho bài toán 4 chưa ạ?



#8
MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

 Có thành viên nào có hướng tiếp cận cho bài toán 5 chưa ạ?

 

 :)



#9
MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

 Bài toán 6:

 

 

 Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

 
$x^{2}+y^{2}+6z^{2}=4\left ( yz+zx \right ).$
 
 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 
$P=\frac{x^{3}}{y\left ( z+x \right )^{2}}+\frac{y^{3}}{x\left ( z+y \right )^{2}}+\frac{\sqrt{x^{2}+y^{^{2}}}}{z}.$


#10
MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

 Bài toán 7:

 

 

 Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

 
$3z^{2}=xy+yz+zx.$
 
 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 
$P=32\left [ \left ( \frac{x}{y+3z} \right )^{3}+\left ( \frac{y}{x+3z} \right )^{3} \right ]-\frac{\sqrt{x^{2}+y^{^{2}}}}{z}.$
 
 
 P/S: Mong mọi người tham gia thảo luận cho bài toán 6 và các bài toán ở trên. :)
 
 Chúc mọi người một kỳ nghỉ lễ vui vẻ, 
 
 N.M.N 2016
 
 :)


#11
MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

 Bài toán 8:

 

 

 Cho x, y và z là ba số thực không âm, thoả mãn:

 
$x^{2}+y^{2}-z^{2}=-xy+yz+zx.$
 
 Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
 
$P=\frac{\left ( x+z \right )^{2}}{2x^{2}+2xz+z^{2}}+\frac{\left ( y+z \right )^{2}}{2y^{2}+2yz+z^{2}}+\frac{xy}{\left ( x+y \right )^{2}}+\frac{xy}{x^{2}+4xy+y^{2}}.$
 
 
 P/S:
 
 Có thành viên nào có ý tưởng cho bài toán 7 chưa ạ?


#12
MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

 Bài toán 9:

 

 

 Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

 
$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2\left ( xy+yz+zx \right ).$
 
 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 
$P=x+y+z+\frac{1}{xyz}-\frac{9}{x+y+z}.$
 
 
 P/S:
 
 Bài toán 8 là một bài thú vị, 
 
 :)


#13
MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
 Bài toán 10:
 
 
 Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:
 
$x^{2}+y^{2}+z^{2}=xy+10yz+zx.$
 
 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 
$P=8xyz-\frac{3x^{3}}{y^{2}+z^{2}}.$
 
 
 P/S:
 
 Có bạn nào có cách giải cho bài toán 9 chưa?


#14
MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

 Bài toán 11:

 

 

 Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

 
$5(x^{2}+y^{2}+z^{2})=9(xy+2yz+zx).$
 
 Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
 
$P=\frac{x}{y^{2}+z^{2}}-\frac{1}{(x+y+z)^{3}}.$
 
 
 P/S:
 
 Có thành viên nào có lời giải cho bài toán 10 chưa ạ?


#15
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

 

 Bài toán 9: Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2\left ( xy+yz+zx \right ).$ Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$P=x+y+z+\frac{1}{xyz}-\frac{9}{x+y+z}.$$

P/S: Bài toán 8 là một bài thú vị,  :)

 

 

Chuẩn hóa $x+y+x=1$ thì $xy+yz+zx=\frac{1}{4}.$ Khi đó $$P=\frac{1}{xyz}-8.$$ Bài toán quy về tìm giá trị lớn nhất của $xyz.$ Từ giả thiết ta có $0 < xyz \leqslant \frac{1}{54}.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 06-05-2016 - 17:19

Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#16
MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

Chuẩn hóa $x+y+x=1$ thì $xy+yz+zx=\frac{1}{4}.$ Khi đó $$P=\frac{1}{xyz}-8.$$ Bài toán quy về tìm giá trị lớn nhất của $xyz.$ Từ giả thiết ta có $0 < xyz \leqslant \frac{1}{54}.$

 

 Em nghĩ anh đã vội vàng, với ý tưởng chuẩn hoá thì biểu thức hoặc bất đẳng thức phải có dạng đồng bậc chứ ạ?

 

 :)



#17
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

 Em nghĩ anh đã vội vàng, với ý tưởng chuẩn hoá thì biểu thức hoặc bất đẳng thức phải có dạng đồng bậc chứ ạ?

 

  :)

 

Ok em anh nhầm tí. Đặt $p = x+y+z$ thì $xy+yz+zx=\frac{p^2}{4}.$ Khi đó $$P=p+\frac{1}{xyz}-\frac{9}{p}.$$ Từ giả thiết ta có $0 < xyz \leqslant \frac{p^3}{54},$ do đó $$P \geqslant p+\frac{54}{p^3}-\frac{9}{p}.$$ Ta có

\[p+\frac{54}{p^3}-\frac{9}{p}-2 = \frac{(p^2+4p+6)(p-3)^2}{p^3} \geqslant 0.\]

Nên $P \geqslant 2.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 06-05-2016 - 23:16

Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#18
MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

Ok em anh nhầm tí. Đặt $p = x+y+z$ thì $xy+yz+zx=\frac{p^2}{4}.$ Khi đó $$P=p+\frac{1}{xyz}-\frac{9}{p}.$$ Từ giả thiết ta có $0 < xyz \leqslant \frac{p^3}{54},$ do đó $$P \geqslant p+\frac{54}{p^3}-\frac{9}{p}.$$ Ta có

\[p+\frac{54}{p^3}-\frac{9}{p}-2 = \frac{(p^2+4p+6)(p-3)^2}{p^3} \geqslant 0.\]

Nên $P \geqslant 2.$

 

 Ý tưởng của anh có thể diễn giải trực tiếp bằng bài toán Iran 2014 mà em đã đưa ra ở chuỗi các bài toán trước đó (Đánh giá từng biến).

 

 :)



#19
MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

 Bài toán 12:

 

 

 Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

 
$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=10.$
 
 Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
 
$P=\frac{3}{xy+yz+zx}-\frac{4}{x^{3}+y^{3}+z^{3}}.$
 
 
 P/S:
 
 Có thành viên nào có lời giải cho bài toán 8 và 11 chưa nhỉ?
 
 :))


#20
MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

 Bài toán 13:

 

 

 Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

 
$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=16.$
 
 Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
 
$P=\frac{(x-y)(y-z)(z-x)}{xyz}.$
 
 
 P/S:
 
 Có thành viên nào có lời giải cho bài toán 12 chưa ạ?





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh