Chủ đề này có 8 trả lời

[tpdtthltvp]

PHÒNG GD&ĐT LẬP THẠCH                              ĐỀ THI KSCL HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016

        ĐỀ CHÍNH THỨC                                                                                             Môn: Toán 8

                                                                                                                                                         Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian phát đề)

 

Câu 1: Cho biểu thức: $$A=\frac{x^5+x^2}{x^3-x^2+x}$$ 

          a) Rút gọn biểu thức $A$.

          b) Tìm $x$ để $A-\left | A \right |=0$.

          c) Tìm $x$ để $A$ đạt giá trị nhỏ nhất.

 

Câu 2: 

          a) Tìm $x,y\in \mathbb{Z}$ sao cho $7(x^2+xy+y^2)=39(x+y)$

          b) Tìm tất cả các số nguyên $n$ để $n^4+2n^3+2n^2+n+7$ là số chính phương.

 

Câu 3: Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng:

$$\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{a+b+c}{3}$$

 

Câu 4: Cho đoạn thẳng $AB$. Trong cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $AB$, ta kẻ các tia $Ax \perp AB,By \perp AB$, lấy trên $Ax$ một điểm $c$ và trên $By$ một điểm $D$ sao cho $AC.BD=\frac{AB^2}{4}$ và gọi $O$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$.

          a) Chứng minh $\Delta ODC\sim \Delta AOC$

          b) Tìm quỹ tích hình chiếu $I$ của $O$ trên đoạn thẳng $CD$, khi $C$ và $D$ di chuyển nhưng vẫn thỏa mãn điều kiện bài cho.

 

Câu 5: Lấy $4$ điểm ở miền trong của một tứ giác để cùng với $4$ đỉnh ta được $8$ điểm, trong đó không có $3$ điểm nào thẳng hàng. Biết diện tích của tứ giác là $1$, chứng minh rằng tồn tại một tam giác có $3$ đỉnh lấy từ $8$ điểm đã cho có diện tích không vượt quá $\frac{1}{10}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 28-04-2016 - 20:19

[I Love MC]

 

Câu 5: Lấy $4$ điểm ở miền trong của một tứ giác để cùng với $4$ đỉnh ta được $8$ điểm, trong đó không có $3$ điểm nào thẳng hàng. Biết diện tích của tứ giác là $1$, chứng minh rằng tồn tại một tam giác có $3$ đỉnh lấy từ $8$ điểm đã cho có diện tích không vượt quá $\frac{1}{10}$.

Xét tứ giác $ABCD$ có diện tích là $1$. Với điểm thứ nhất là $M$ thì ta có $4$ tam giác chung đỉnh $M$ không có điểm trong chung. 
Với điểm $N$ thứ hai phải là điểm nằm trong bốn tam giác nói trên . Nối $N$ với ba đỉnh của tam giác đó tạo thành ba tam giác chung đỉnh $N$ 
Tuy vậy số tam giác đôi một không có điểm trong chung nên chỉ tăng thêm $2$,vì mất đi $1$ tam giác chứa điểm $N$ . Số tam giác không có điểm trong chung lúc này là : $4+2=6$ 
Với $2$ điểm còn lại thì số tam giác đôi một không có điểm trong chung là : $4+2.3=10$ 
Xét $10$ tam giác đó có tổng diện tích bằng $1$ nên suy ra tồn tại một tam giác đã cho không có diện tích vượt quá $0,1$

[NTA1907]

PHÒNG GD&ĐT LẬP THẠCH                              ĐỀ THI KSCL HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016

        ĐỀ CHÍNH THỨC                                                                                             Môn: Toán 8

                                                                                                                                                         Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 3: Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng:

$$\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{a+b+c}{3}$$

Áp dụng AM-GM ta có:

$a-\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}=\frac{ab(a+b)}{a^{2}+ab+b^{2}}\leq \frac{ab(a+b)}{3ab}=\frac{a+b}{3}$

Thiết lập các bđt tương tự ta có:

$\sum \frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq (a+b+c)-\frac{2(a+b+c)}{3}=\frac{a+b+c}{3}$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c$

[PhucLe]

PHÒNG GD&ĐT LẬP THẠCH                              ĐỀ THI KSCL HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016

        ĐỀ CHÍNH THỨC                                                                                             Môn: Toán 8

                                                                                                                                                         Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian phát đề)

 

Câu 1: Cho biểu thức: $$A=\frac{x^5+x^2}{x^3-x^2+x}$$ 

          a) Rút gọn biểu thức $A$.

a) $A=\frac{x(x^{4}+x)}{x(x^{2}-x+1)}$

$=\frac{x(x^{3}+1)}{x^{2}-x+1}$

$=\frac{x(x+1)(x^{2}-x+1)}{x^{2}-x+1}$

$=x(x+1)$

p/s: mình bận, không kịp làm câu b, c, ai làm nốt đi nha

[Lawer]

PHÒNG GD&ĐT LẬP THẠCH                              ĐỀ THI KSCL HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016

        ĐỀ CHÍNH THỨC                                                                                             Môn: Toán 8

                                                                                                                                                         Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian phát đề)

 

Câu 1: Cho biểu thức: $$A=\frac{x^5+x^2}{x^3-x^2+x}$$ 

          a) Rút gọn biểu thức $A$.

          b) Tìm $x$ để $A-\left | A \right |=0$.

          c) Tìm $x$ để $A$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu a như bạn PhucLe:

 

 

a) $A=\frac{x(x^{4}+x)}{x(x^{2}-x+1)}$

$=\frac{x(x^{3}+1)}{x^{2}-x+1}$

$=\frac{x(x+1)(x^{2}-x+1)}{x^{2}-x+1}$

$=x(x+1)$

Câu c:

Ta có $x(x+1)=x^2+x=x^2+x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=(x+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}$

Ta thấy:$(x+\frac{1}{2})^2\geq 0$

$\Rightarrow (x+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}\geq -\frac{1}{4}$

$\Rightarrow$ $Min_{A}=-\frac{1}{4}$ khi $x=-\frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lawer: 28-04-2016 - 19:59

[tpdtthltvp]

Câu b:

Xét $x< 0$:

$\Rightarrow x^2+x=\left | x^2+x \right | \Leftrightarrow x^2-x=x^2-x$(1)

Xét $x\geq 0$:

$\Rightarrow x^2+x=\left | x^2+x \right |\Leftrightarrow x^2+x=x^2+x$(2)

Từ (1) và (2) suy ra $A=\left | A \right |$ với mọi giá trị $x$.

P/s: Riêng câu b mình làm bừa ko biết đúng hay sai nữa .=_="

Câu $(b)$ bạn sai ở trường hợp $x<0$ thì $x^2+x=\left | x^2+x \right | \Leftrightarrow x^2-x=x^2-x$

Bài làm của mình:

 

$A-\left | A \right |=0\Leftrightarrow \left | A \right |=A\Leftrightarrow A\geq 0\Rightarrow x(x+1)\geq 0\Rightarrow \begin{bmatrix} x\leq -1 \\ x>0( \text{Vì x khác 0}) \end{bmatrix}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 28-04-2016 - 19:41

[Minh Hieu Hoang]

ai xử nốt câu 2 đi ạ

[Tran Nam hy2002]

ai xử nốt câu 2 đi ạ

a)ta co : $7(x^2+xy+y^2)=39(x+y)$

          $=> x^2+xy+y^2$  chia het cho $39$

          đặt $x^2+xy+y^2=39k => x+y=7k$

 

          $ => x^2+2xy+y^2=49k^2$

           $=> xy=49k^2-39k$

ta co bdt : $(x+y)^2>=4xy$

               $<=>49k^2>=4(49k^2-39k)$

               $<=>156k>=147k^2$

               $=>k=0$ hoac $1$ 

voi $k=0 =>7(x^2+xy+y^2)=0$ vo li

voi k=1 ta tinh dc cac nghiem $(x;y)$ la $(0;0),(5;2),(2;5)$

b)ta co : $n^4+2n^3+2n^2+n+7=k^2$

        $<=>(n^4+2n^3+n^2)+n^2+n+7=k^2$

      do $n^2+n+7>0 =>k^2>n^4+2n^3+n^2=(n^2+n)^2 (1)$

      Xet :$ (n^2+n+3)^2-k^2$

       $= 5n^2+5n+2$

       $=5((n+0,5)^2+0,35)>0$

       $=>(n^2+n+3)^2>k^2                                         (2)$

tu (1) va (2) $=>k^2=(n^2+n+1)^2 hoac k^2=(n^2+n+2)^2$

voi $k^2=(n^2+n+1)^2$ ta tinh dc$x=-3$ hoac $x=2$

voi $k^2=(n^2+n+2)^2$ phuong trinh khong co nghiem nguyen

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 30-05-2016 - 15:46

[Vdang001]

ai lm bài 4 ik