Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq \frac{a+b}{b+c} + \frac{b+c}{a+b} + 1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Math Master

Math Master

    Blue Sky

  • Thành viên
  • 245 Bài viết

Cho a,b,c dương.Chứng minh

$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq \frac{a+b}{b+c} + \frac{b+c}{a+b} + 1$


~Trí tưởng tượng quan trọng hơn kiến thức.~

Imagination is more important than knowledge.

-Einstein-


#2
cristianoronaldo

cristianoronaldo

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 233 Bài viết

BĐT cần chứng minh tương đương với:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+1\geq \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+2$

<=>$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+1\geq \frac{(a+b)^2+2(a+b)(b+c)+(b+c)^2}{(a+b)(b+c)}$

<=>$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+1\geq \frac{(a+2b+c)^2}{(a+b)(b+c)}$    (*)

Theo bất đăng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{bc}+\frac{c^2}{ac}+\frac{b^2}{b^2}\geq \frac{(a+2b+c)^2}{b^2+ab+bc+ca}= \frac{(a+2b+c)^2}{(a+b)(b+c)}$

=>(*) đúng

Dấu ''='' xảy ra khi a=b=c


Nothing in your eyes


#3
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Cho a,b,c dương.Chứng minh

$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq \frac{a+b}{b+c} + \frac{b+c}{a+b} + 1$

Nhân hai vế của bất đẳng thức với b + c, ta được: $\frac{a(b+c)}{b}+\frac{b(b+c)}{c}+\frac{c(b+c)}{a}\geqslant a+b+\frac{(b+c)^2}{a+b}+b+c$

$\Leftrightarrow \frac{ac}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{c^2}{a}\geqslant b+c+\frac{(b+c)^2}{a+b}$

Điều này đúng do: $\frac{c^2}{a}+\frac{b^2}{b}\geqslant\frac{(b+c)^2}{a+b}$

$\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}\geqslant 2c$

$\frac{b^2}{c}+c \geqslant 2b$

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh