Cho a,b,c dương.Chứng minh
$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq \frac{a+b}{b+c} + \frac{b+c}{a+b} + 1$
BĐT cần chứng minh tương đương với:
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+1\geq \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+2$
<=>$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+1\geq \frac{(a+b)^2+2(a+b)(b+c)+(b+c)^2}{(a+b)(b+c)}$
<=>$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+1\geq \frac{(a+2b+c)^2}{(a+b)(b+c)}$ (*)
Theo bất đăng thức Cauchy-Schwarz ta có:
$\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{bc}+\frac{c^2}{ac}+\frac{b^2}{b^2}\geq \frac{(a+2b+c)^2}{b^2+ab+bc+ca}= \frac{(a+2b+c)^2}{(a+b)(b+c)}$
=>(*) đúng
Dấu ''='' xảy ra khi a=b=c
Nothing in your eyes
Cho a,b,c dương.Chứng minh
$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq \frac{a+b}{b+c} + \frac{b+c}{a+b} + 1$
Nhân hai vế của bất đẳng thức với b + c, ta được: $\frac{a(b+c)}{b}+\frac{b(b+c)}{c}+\frac{c(b+c)}{a}\geqslant a+b+\frac{(b+c)^2}{a+b}+b+c$
$\Leftrightarrow \frac{ac}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{c^2}{a}\geqslant b+c+\frac{(b+c)^2}{a+b}$
Điều này đúng do: $\frac{c^2}{a}+\frac{b^2}{b}\geqslant\frac{(b+c)^2}{a+b}$
$\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}\geqslant 2c$
$\frac{b^2}{c}+c \geqslant 2b$
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh