Chủ đề này có 1 trả lời

[fatcat12345]

Đường tròn nội tiếp của $\Delta ABC$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ lần lượt tại $A_1,B_1,C_1$. Đặt $p_1=\frac{A_1B_1+B_1C_1+C_1A_1}{2}$, $p$ là nửa chu vi $\Delta ABC$. Chứng minh

\[p_1\leq \frac{p}{2}.\]

 

[Minhnguyenthe333]

 

Đường tròn nội tiếp của $\Delta ABC$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ lần lượt tại $A_1,B_1,C_1$. Đặt $p_1=\frac{A_1B_1+B_1C_1+C_1A_1}{2}$, $p$ là nửa chu vi $\Delta ABC$. Chứng minh

\[p_1\leq \frac{p}{2}.\]

 

Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$

     $R,r$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp $\Delta ABC$

Nối $O$ với $A,B,C$ thì $OA\perp B_1C_1,$ $OB\perp A_1C_1$ và $OC\perp A_1B_1$ (bạn tự chứng minh)

 

Khi đó ta có: $R(A_1B_1+B_1C_1+C_1A_1)=OA.B_1C_1+OB.A_1C_1+OC.A_1B_1=2S_{ABC}$

 

Tương tự:

$r(AB+BC+CA)=r.AB+r.BC+r.CA=2S_{ABC}$

 

$=>r(AB+BC+CA)=R(A_1B_1+B_1C_1+C_1A_1)$

 

$<=>\frac{AB+BC+CA}{A_1B_1+B_1C_1+C_1A_1}=\frac{R}{r}$

 

$<=>\frac{R}{r}=\frac{2p}{2p_1}=\frac{p}{p_1}$

 

BĐT cần chứng minh tương đương:

 

$p_1\leqslant \frac{p}{2}<=>R\geqslant 2r$ (luôn đúng)

 

Dấu "=" xảy ra khi $\Delta ABC$ đều

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 29-04-2016 - 13:48