Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \frac{1}{4a^{2}-ab+4b^{2}}\geq \frac{9}{7(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 280 Bài viết

Cho $a,b,c$ không âm. Chứng minh rằng: 

$\sum \frac{1}{4a^{2}-ab+4b^{2}}\geq \frac{9}{7(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 30-04-2016 - 07:34


#2
hoanglong2k

hoanglong2k

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 965 Bài viết

cho a,b,c không âm 

$\sum \frac{1}{4a^{2}-ab+4b^{2}}\geq \frac{9}{7(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có 

 $\sum \dfrac{1}{4a^2-ab+4c^2}=\sum \dfrac{(2a+2b+5c)^2}{(4a^2-ab+4b^2)(2a+2b+5c)^2}\geq \dfrac{81(a+b+c)^2}{\sum (4a^2-ab+4b^2)(2a+2b+5c)^2}$

 Nên ta chỉ cần chứng minh $63(a+b+c)^2(a^2+b^2+c^2)\geq \sum (4a^2-ab+4b^2)(2a+2b+5c)^2$

 Hay là $31\sum a^4+18\sum ab(a^2+b^2)+31abc\sum a\geq 98\sum a^2b^2$

 Áp dụng bất đẳng thức Schur bậc 4 ta có $\sum a^4+abc\sum a\geq \sum ab(a^2+b^2)$

 Từ đó kết hợp với AM-GM thì $31\sum a^4+18\sum ab(a^2+b^2)+31abc\sum a\geq 49\sum ab(a^2+b^2)\geq 98\sum a^2b^2$

 Bài toán được chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$ hoặc $a=b,\ c=0$ và các hoán vị 

 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 30-04-2016 - 05:30





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh