Chủ đề này có 8 trả lời

[NTA1907]

Cho $a,b,c,d\geq 0$ thoả mãn $a+b+c+d=4$. CMR:

$\frac{ab}{c+d+4}+\frac{bc}{d+a+4}+\frac{cd}{a+b+4}+\frac{da}{b+c+4}+\frac{\sqrt{abcd}}{3}\leq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTA1907: 29-04-2016 - 22:14

[Chris yang]

Cho $a,b,c,d\geq 0$ thoả mãn $a+b+c+d=4$. CMR:

$\frac{ab}{c+d+4}+\frac{bc}{d+a+4}+\frac{cd}{a+b+4}+\frac{da}{b+c+4}+\frac{\sqrt{abcd}}{3}\leq 1$

Giải như sau:

Thay $4=a+b+c+d$ và áp dụng BĐT Cauchy_Schwarz ta có:

$\sum \frac{ab}{c+d+4}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{ab}{c+d+a}+\frac{ab}{c+d+b}+\frac{bc}{a+d+b}+\frac{bc}{a+d+c}+\frac{cd}{a+b+c}+\frac{cd}{a+b+d}+\frac{da}{b+c+d}+\frac{da}{b+c+a} \right )$

Đặt biểu thức vế phải trên là $A$

$A=\frac{1}{4}(a+b+c+d)-\frac{1}{4}\left ( \frac{bd}{a+d+c}+\frac{bd}{a+b+c}+\frac{ac}{b+c+d}+\frac{ac}{a+b+d} \right )\leq  1-\left ( \frac{bd}{a+c+4}+\frac{ac}{b+d+4} \right )$

$\leq 1-2\sqrt{\frac{abcd}{(b+d+4)(a+c+4)}}\leq 1-2\sqrt{\frac{abcd}{\left ( \frac{a+b+c+d+8}{2} \right )^2}}=1-\frac{\sqrt{abcd}}{3}$

$\Rightarrow\frac{ab}{c+d+4}+\frac{bc}{a+d+4}+\frac{cd}{a+b+4}+\frac{da}{b+c+4}+\frac{\sqrt{abcd}}{3}\leq 1$ ( đpcm )

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=d=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocanh99: 30-04-2016 - 14:59

[NTA1907]

Giải như sau:

Thay $4=a+b+c+d$ và áp dụng BĐT Cauchy_Schwarz ta có:

$\sum \frac{ab}{c+d+4}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{ab}{c+d+a}+\frac{ab}{c+d+b}+\frac{bc}{a+d+b}+\frac{bc}{a+d+c}+\frac{cd}{a+b+c}+\frac{cd}{a+b+d}+\frac{da}{b+c+d}+\frac{da}{b+c+a} \right )$

Đặt biểu thức vế phải trên là $A$

$A=\frac{1}{4}(a+b+c+d)-\frac{1}{4}\left ( \frac{bd}{a+d+c}+\frac{bd}{a+b+c}+\frac{ac}{b+c+d}+\frac{ac}{a+b+d} \right )\leq  1-\left ( \frac{bd}{a+c+4}+\frac{ac}{b+d+4} \right )$

$\leq 1-2\sqrt{\frac{abcd}{(b+d+4)(a+c+4)}}\leq 1-2\sqrt{\frac{abcd}{\left ( \frac{a+b+c+d+8}{2} \right )^2}}=1-\frac{\sqrt{abcd}}{3}$

$\Rightarrow\frac{ab}{c+d+4}+\frac{bc}{a+d+4}+\frac{cd}{a+b+4}+\frac{da}{b+c+4}+\frac{\sqrt{abcd}}{3}\leq 1$ ( đpcm )

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=d=1$

Cách làm này của bạn mới chỉ thoả mãn được một TH dấu = xảy ra, dấu = còn xảy ra$\Leftrightarrow a=b=2, c=d=0$ và các hoán vị

[Chris yang]

Cách làm này của bạn mới chỉ thoả mãn được một TH dấu = xảy ra, dấu = còn xảy ra$\Leftrightarrow a=b=2, c=d=0$ và các hoán vị

Thầy mình bảo với BĐT thì chỉ cần tìm CM là đủ. Phần cuối có thể nêu 1 (hoặc tất cả) các TH xảy ra dấu $=$. Vì thế ở cuối bài, mình không dùng dấu $\Leftrightarrow$

Đây chính là điểm khác giữa BĐT và Cực trị. 

[NTA1907]

Thầy mình bảo với BĐT thì chỉ cần tìm CM là đủ. Phần cuối có thể nêu 1 (hoặc tất cả) các TH xảy ra dấu $=$. Vì thế ở cuối bài, mình không dùng dấu $\Leftrightarrow$

Đây chính là điểm khác giữa BĐT và Cực trị. 

Nhưng mình vẫn cảm thấy chưa ổn lắm bởi nếu đề bài cho tìm max thì ta sẽ làm thế nào? Mình vẫn muốn nêu ra một cách làm tổng quát cho bài toán này

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTA1907: 01-05-2016 - 20:29

[Chris yang]

Nhưng mình vẫn cảm thấy chưa ổn lắm bởi nếu đề bài cho tìm max thì ta sẽ làm thế nào? Mình vẫn muốn nêu ra một cách làm tổng quát cho bài toán này

Haha, vừa kiểm tra lại bài làm, chợt nhớ ra những chỗ đánh giá $\geq$ và $\leq$ dấu $=$ cũng bao hàm luôn TH $a=b=2,c=d=0$ rồi đó!  

[NTA1907]

Giải như sau:

Thay $4=a+b+c+d$ và áp dụng BĐT Cauchy_Schwarz ta có:

$\sum \frac{ab}{c+d+4}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{ab}{c+d+a}+\frac{ab}{c+d+b}+\frac{bc}{a+d+b}+\frac{bc}{a+d+c}+\frac{cd}{a+b+c}+\frac{cd}{a+b+d}+\frac{da}{b+c+d}+\frac{da}{b+c+a} \right )$

Đặt biểu thức vế phải trên là $A$

$A=\frac{1}{4}(a+b+c+d)-\frac{1}{4}\left ( \frac{bd}{a+d+c}+\frac{bd}{a+b+c}+\frac{ac}{b+c+d}+\frac{ac}{a+b+d} \right )\leq  1-\left ( \frac{bd}{a+c+4}+\frac{ac}{b+d+4} \right )$

$\leq 1-2\sqrt{\frac{abcd}{(b+d+4)(a+c+4)}}\leq 1-2\sqrt{\frac{abcd}{\left ( \frac{a+b+c+d+8}{2} \right )^2}}=1-\frac{\sqrt{abcd}}{3}$

$\Rightarrow\frac{ab}{c+d+4}+\frac{bc}{a+d+4}+\frac{cd}{a+b+4}+\frac{da}{b+c+4}+\frac{\sqrt{abcd}}{3}\leq 1$ ( đpcm )

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=d=1$

Mình có ý kiến thế này:

Chỗ màu đỏ dấu = xảy ra là b=d và a=c

Chỗ màu xanh thì dấu = xảy ra là b+d=a+c

Vậy rốt cuộc dấu = xảy ra vẫn là a=b=c=d=1 đó thôi 

[PlanBbyFESN]

Mình có ý kiến thế này:

Chỗ màu đỏ dấu = xảy ra là b=d và a=c

Chỗ màu xanh thì dấu = xảy ra là b+d=a+c

Vậy rốt cuộc dấu = xảy ra vẫn là a=b=c=d=1 đó thôi 

 

Theo em nghĩ tử đã bằng 0 thì đánh giá mẫu thức như thế nào không quan trọng đâu! Vẫn đảm bảo dấu bằng

[PlanBbyFESN]

Ví dụ như: $\frac{a}{2ab+c}\geq \frac{a}{a^{2}+b^{2}+c}$  Thì $a=b$ nhưng nếu $a=0$ thì có $a=b$ hay không không quan trọng