Chủ đề này có 4 trả lời

[tienduc]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa ab+bc+ca=3

Chứng minh $\frac{1}{a^{2}+2}+\frac{1}{b^{2}+2}+\frac{1}{c^{2}+2}\leq 1$

[tritanngo99]

Bài giải của mình: Dùng PP p,q,r

Sau khi quy đồng và rút gọn. Ta có biểu thức cần chứng minh tương đương:

$a^2b^2c^2+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge 4(1)$

Đặt $p=ab+bc+ca=>p=3$; $q=ab*bc+bc*ca+ca*ab$; $r=a^2b^2c^2$

Khi đó ta có $p^2\ge 3q=> q\le 3$

và ta có bdt quen thuộc là $p^3+9r\ge 4pq\iff r\ge \frac{12q-27}{9}$

Lúc này $(1)\iff r+p^2-2q\ge 4(2)$

Thật vậy ta có: $r\ge  \frac{12q-27}{9}$;

                $=>r+p^2-2q\ge\frac{12q-27}{9}+9-2q=\frac{-6q-27}{9}+9\ge 4$ (do $q\le 3$)

=> Ta có dpcm. Dấu = xảy ra khi a=b=c=1.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 30-04-2016 - 10:06

[PlanBbyFESN]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa ab+bc+ca=3

Chứng minh $\frac{1}{a^{2}+2}+\frac{1}{b^{2}+2}+\frac{1}{c^{2}+2}\leq 1$

 

$\sum \frac{1}{a^{2}+2}\leq 1\Leftrightarrow \sum \frac{a^{2}}{a^{2}+2}\geq 1$

 

$\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+2}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{\sum a^{2}+6}=\frac{(a+b+c)^{2}}{\sum a^{2}+2(\sum ab)}=1$

[Master Kaiser]

$\sum \frac{1}{a^{2}+2}\leq 1\Leftrightarrow \sum \frac{a^{2}}{a^{2}+2}\geq 1$

 

$\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+2}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{\sum a^{2}+6}=\frac{(a+b+c)^{2}}{\sum a^{2}+2(\sum ab)}=1$

Tại sao lại có như thế này bạn nhỉ ?

[PlanBbyFESN]

Tại sao lại có như thế này bạn nhỉ ?

 

$\frac{2}{a^{2}+2}=\frac{a^{2}+2-a^{2}}{a^{2}+2}=1-\frac{a^{2}}{a^{2}+2}$

 

$\Rightarrow \sum \frac{1}{a^{2}+2}\leq 1\Leftrightarrow \sum \frac{a^{2}}{a^{2}+2}\geq 1$

 

Một bài hết sức cơ bản của kĩ thuật AM-GM ngược dấu!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 30-04-2016 - 09:21