Chủ đề này có 1 trả lời

[doremon01]

Cho các số dương x và y thỏa mãn $x+y\leq 1$. Tìm GTNN của biểu thức

$P=\sqrt{4x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}+\sqrt{4y^{2}+\frac{1}{y^{2}}}-(\frac{x}{x^{2}+1}+\frac{y}{y^{2}+1})$

[tritanngo99]

Từ đk đề bài => x,y thuộc (0;1);

Đặt $f(t)=\sqrt{4t^2+\frac{1}{t^2}}-\frac{t}{t^2+1}$. Với t thuộc (0;1);

Xét $f'(t)=\frac{12t^4-1}{2t^3\sqrt{4t^2+\frac{1}{t^2}}}-\frac{1-t^2}{(t^2+1)^2}< 0$ với mọi t thuộc (0;1);

=>  f{t) nghịch biến trên (0;1);

Khi đó $P=f(x)+f(y)$

Không mất tính tổng quát: Giả sử $x\le y => x\le \frac{1}{2}$

Mà ta lại có: f nghịch biến trên (0;1); nên $P\ge 2f(x)\ge 2f(\frac{1}{2})=\frac{-4+10\sqrt{5}}{5}$

Dấu = xảy ra khi x=y=1/2.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 30-04-2016 - 10:09