Đến nội dung

Hình ảnh

$...\sqrt{\frac{{{\left( a+b \right)}^{3}}}{a+1}}\geq 12$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
PlanBbyFESN

PlanBbyFESN

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 637 Bài viết

Problem 1: Let $x,y,z>0$. Find the minimum value of:

 

$P=\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt[3]{\frac{b}{c+a}}+\sqrt[4]{\frac{c}{a+b}}$

 

Problem 2: Let $x,y,z>0$ and $x+y+z=6$.

 

Prove that: $\sqrt{\frac{{{\left( a+b \right)}^{3}}}{a+1}}+\sqrt{\frac{{{\left( b+c \right)}^{3}}}{b+2}}+\sqrt{\frac{{{\left( c+a \right)}^{3}}}{c+3}}\geqslant 12$

 

 

 
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 30-04-2016 - 10:21

:huh:


#2
PlanBbyFESN

PlanBbyFESN

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 637 Bài viết

Problem 3: Let $x,y,z\in \left [ 1;2 \right ]$.

 

Prove that: $\frac{10a}{bc}+\frac{11b}{ac}+\frac{12c}{ab}\leq \frac{69}{2}$

 

Problem 4: Let $a,b,c>0$ and $abc=1$.

 

Prove that: $\sqrt[3]{a^3-a+1}+\sqrt[3]{b^3-b+1}+\sqrt[3]{c^3-c+1} \geq a+b+c$

 

Problem 5: Let $a,b,c\geqslant 0$ and $a+b+c=3$.

 

Find the maximum value of $k$ so that: $a^{3}+b^{3}+c^{3}+kabc\geq 3+k$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 08-05-2016 - 19:08

:huh:


#3
the unknown

the unknown

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

Problem 5: Let $a,b,c\geqslant 0$ and $a+b+c=3$.

 

Find the maximum value of $k$ so that: $a^{3}+b^{3}+c^{3}+kabc\geq 3+k$

For $a=0,b=c=\frac{3}{2}$, we get: $k\leq \frac{15}{4}$. Thus we prove that $k=\frac{15}{4}$ is the maximum value so that the inequality holds for every non-negative numbers $a,b,c$ satisfy $a+b+c=3$.

It means we have to prove that: $a^3+b^3+c^3+\frac{15}{4}abc\geq \frac{27}{4}$ $(1)$for every $a,b,c\geq 0,a+b+c=3$.

From the Schur inequality, it follows that: $a^3+b^3+c^3+3abc\geq \sum ab(a+b)\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+5abc\geq (a+b)(b+c)(c+a)\Leftrightarrow 4(a^3+b^3+c^3)+15abc\geq (a+b+c)^3=27$

Thus the inequality $(1)$ is proved, equation holds iff $a=b=c=1$ or $a=0,b=c=\frac{3}{2}$.

So the maximum value of $k$ is $\frac{15}{4}$.


$\texttt{If you don't know where you are going, any road will get you there}$


#4
AnhTran2911

AnhTran2911

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 230 Bài viết

Sao lại hỏi $x,y,z$ đi chứng minh $a,b,c$


        AQ02

                                 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh