Cho a,b,c >0 thỏa mãn: a+b+c=1
Tìm GTLN của $P=3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)-5c^{2}+4c+2ab$
Không mất tính tổng quát, giả sử $b$ nằm giữa $a$ và $c$.
Ta có
$c(b-a)(b-c)\leq 0$
$\Leftrightarrow b^2c+c^2a\leq abc+bc^2$
$\Leftrightarrow a^2b+b^2c+c^2a+abc\leq b(a+c)^2=\frac{1}{2}.2b.(a+c)^2\leq \frac{4}{27}(a+b+c)^3=\frac{4}{27}$
$\Leftrightarrow 3(a^2b+b^2c+c^2a)\leq 3.(\frac{4}{27}-abc)=\frac{4}{9}-3abc$
Suy ra
$P\leq \frac{4}{9}-3abc-5c^2+4c+2ab=\frac{4}{9}-5c^2+4c+ab(2-3c)$
$TH1:2-3c< 0\Rightarrow P<\frac{4}{9}-5c^2+4c=-5(x-\frac{2}{5})^2+\frac{56}{45}\leq \frac{56}{45}$
$TH2:2-3c\geq 0\Rightarrow P\leq \frac{4}{9}-5c^2+4c+ab(2-3c)\leq \frac{4}{9}-5c^2+4c+\frac{(a+b)^2}{4}.(2-3c)= \frac{4}{9}-5c^2+4c+\frac{(1-c)^2}{4}.(2-3c)$
Đến đây khảo sát hàm biến $c$ trên $(0;\frac{2}{3}]$
Ta sẽ có $f(c)\leq f(\frac{1}{3})=\frac{4}{3}$
Vậy $MaxP=\frac{4}{3}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$
Ta có :Cho a,b,c >0 thỏa mãn: a+b+c=1
Tìm GTLN của $P=3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)-5c^{2}+4c+2ab$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangtq1998: 01-05-2016 - 17:07
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh