Chủ đề này có 2 trả lời

[SPhuThuyS]

Cho a,b,c >0 thỏa mãn: a+b+c=1

Tìm GTLN của $P=3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)-5c^{2}+4c+2ab$

[ZOT Murloc]

Không mất tính tổng quát, giả sử $b$ nằm giữa $a$ và $c$.

Ta có

$c(b-a)(b-c)\leq 0$

$\Leftrightarrow b^2c+c^2a\leq abc+bc^2$

$\Leftrightarrow a^2b+b^2c+c^2a+abc\leq b(a+c)^2=\frac{1}{2}.2b.(a+c)^2\leq \frac{4}{27}(a+b+c)^3=\frac{4}{27}$

$\Leftrightarrow 3(a^2b+b^2c+c^2a)\leq 3.(\frac{4}{27}-abc)=\frac{4}{9}-3abc$

 

Suy ra

$P\leq \frac{4}{9}-3abc-5c^2+4c+2ab=\frac{4}{9}-5c^2+4c+ab(2-3c)$

 

$TH1:2-3c< 0\Rightarrow P<\frac{4}{9}-5c^2+4c=-5(x-\frac{2}{5})^2+\frac{56}{45}\leq \frac{56}{45}$

 

$TH2:2-3c\geq 0\Rightarrow P\leq \frac{4}{9}-5c^2+4c+ab(2-3c)\leq \frac{4}{9}-5c^2+4c+\frac{(a+b)^2}{4}.(2-3c)= \frac{4}{9}-5c^2+4c+\frac{(1-c)^2}{4}.(2-3c)$

 

Đến đây khảo sát hàm biến $c$ trên $(0;\frac{2}{3}]$

 

Ta sẽ có $f(c)\leq f(\frac{1}{3})=\frac{4}{3}$

 

Vậy $MaxP=\frac{4}{3}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$

 

[quangtq1998]

Cho a,b,c >0 thỏa mãn: a+b+c=1
Tìm GTLN của $P=3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)-5c^{2}+4c+2ab$

Ta có :
$ a(a-b)^2 + b(b-c)^2 + c(c-a)^2 \ge 0 \Leftrightarrow  (a+b+c)(a^2 +b^2 + c^2) \ge 3(a^2b+b^2c+c^2a)  $
 
 
$\Rightarrow P - \frac{4}{3} \leq a^2 +b^2 +c^2 + 2ab -5c^2 + 4c -\frac{4}{3} = -3(c-\frac{1}{3})^2\leq 0 $
$\Rightarrow P \leq \frac{4}{3} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangtq1998: 01-05-2016 - 17:07