Chủ đề này có 4 trả lời

[ineX]

Tam giác $ABC$ có $AB \neq AC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và ngoại tiếp đường tròn $(I)$.

Đường tròn $(I)$ tiếp xúc với $BC$ ở $D$.

giả sử $OI$ vuông góc với $AD$.

Chứng minh $AD$ là đường đối trung của tam giác.

[Nguyen Dinh Hoang]

Nếu bạn đã học về cực đối cực thì có thể giải như sau.
Gọi $E,F$ là các tiếp điểm còn lại, gọi $T$ là hình chiếu của $I$ lên $AD$.Áp dụng định lý tâm đẳng phương cho các đường tròn $\odot (ID),\odot ( I)$ và$\odot ( EFTI)$ ta có $OI,EF$ và $BC$ đồng quy và nếu gọi $S$ là điểm đồng quy ta có $S$ và $D$ liên hợp mà $DA$ vuông góc $OI$ nên $S$ và $A$ liên hợp.

Từ đó ta có điều phải chứng minh theo tính chất đối trung.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 30-04-2016 - 17:46

[ineX]

Cảm ơn bạn, nhưng cực và đối cực cao quá, mình chưa học đến. Bạn còn một huớng nào thuần túy hơn không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 30-04-2016 - 21:08

[Nguyen Dinh Hoang]

Thực ra cực đối cực cũng chỉ là $1$ bài toán cấp $2$ thôi bạn à.
Phát biểu của nó như sau: Cho $\odot (O)$ và đường thẳng $d$ bất kì $A$ di chuyển thuộc $d.E,F$ là $2$ tiếp điểm của $2$ tiếp tuyến kẻ từ $A$ thì $EF$ đi qua $1$ điểm cố định.

Tùy vào từng bài mà ứng dụng của nó rất hay!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 30-04-2016 - 21:09

[quanghung86]

Có thể dùng hàng điều hòa như sau

 

 

Gọi $(I)$ tiếp xúc $CA,AB$ tại $E,F$. Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ lên $AD$ thì ta đã biết $IH,EF,BC$ đồng quy tại $G$. Vậy nếu $OI\perp AD$ thì $O$ thuộc $IH$. Mặt khác $H(BC,DG)=-1$ nên $HO$ là phân giác ngoài $\angle BHC$ mà $OB=OC$ nên $H$ thuộc $(BOC)$. Từ đó $HD$ đi qua giao hai tiếp tuyến tại $B,C$ của $(O)$.