Chủ đề này có 3 trả lời

[tienduc]

Cho $x^{4}+y^{4}+z^{4}=3$. Tìm Max của 

$P=x^{2}(y+z)+y^{2}(x+z)+z^{2}(x+y)$

[Nhok Tung]

Áp dụng BĐT AM-GM :

$x^{2}y\leq \frac{x^{4}+y^{2}}{2}$

=> $\sum x^{2}(y+z)\leq x^{4}+y^{4}+z^{4}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 3+\sqrt{3\sum x^{4}}=6$

Vậy max P = 6 và đạt được khi x=y=z=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nhok Tung: 30-04-2016 - 21:51

[Baoriven]

Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc ,ta được: 

$x^{2}(y+z)=\frac{1}{8}(4x^{2}.2(y+z))$

$\leq \frac{1}{16}.(16x^{4}+4(y+z)^{2})$

$\leq \frac{1}{16}.(16x^{4}+8y^{2}+8z^{2})$

Từ đó suy ra :

$P\leq x^{4}+y^{4}+z^{4}+x^{2}+y^{2}+z^{2}

\leq x^{4}+y^{4}+z^{4}+\sqrt{3(x^{4}+y^{4}+z^{4})}

=6$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 30-04-2016 - 22:11

[Shin Janny]

Cho $x^{4}+y^{4}+z^{4}=3$. Tìm Max của 

$P=x^{2}(y+z)+y^{2}(x+z)+z^{2}(x+y)$

$P^2=\left [ x^{2}(y+z)+y^{2}(x+z)+z^{2}(x+y) \right ]^{2}$

       $\leq \left [ (x^{2})^{2}+(y^{2})^{2}+(z^{2})^{2} \right ]\left \lceil (y+z)^{2}+(x+z)^{2}+(x+y)^{2} \right \rceil$

       $=(x^{4}+y^{4}+z^{4}).2.(x^{2}+y^{2}+z^{2}+xy+yz+zx)$

       $=6(x^{2}+y^{2}+z^{2}+xy+yz+zx)$

       $\leq 12(x^{2}+y^{2}+z^{2})(do xy+yz+zx\leq x^{2}+y^{2}+z^{2})$

Có $\frac{x^{4}}{1}+\frac{y^{4}}{1}+\frac{z^{4}}{1}\geq \frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{1+1+1}$

hay $(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}\leq 9$

$\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 3$

Nên $P^{2}\leq 36\Rightarrow P\leq 6$

Vậy Max P=6, dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1