Chủ đề này có 3 trả lời

[Zeref]

Cho a; b; c; d là  các số nguyên dương thoả $a^2+b^2-ab=c^2+d^2-cd$

Chứng minh a+b+c+d là hợp số

[Ngoc Hung]

 

Cho a; b; c; d là  các số nguyên dương thoả $a^2+b^2-ab=c^2+d^2-cd$

Chứng minh a+b+c+d là hợp số

 

 

Xem tại ĐÂY

[I Love MC]

Xem tại ĐÂY

Link bị sai rồi thầy  

 

 

Cho a; b; c; d là  các số nguyên dương thoả $a^2+b^2-ab=c^2+d^2-cd$

Chứng minh a+b+c+d là hợp số

 

Ta có thể giải như sau : 
$a^2+b^2-ab=c^2+d^2-cd \Leftrightarrow (a+b)^2-(c+d)^2=3(ab-cd)$ 
$(a+b+c+d)(a+b-c-d)=3(ab-cd)$ 
Giả sử $a+b+c+d$ là số nguyên tố . 
Vì $a+b+c+d>3$ suy ra $(a+b+c+d)|ab-cd$ 
Đặt $p=a+b+c+d$ ta có $ab-cd \vdots p$ 
Suỷa $ab+c(a+b+c) \equiv 0 \pmod{p}$ suy ra $(c+a)(c+b) \equiv 0 \pmod{p}$ . Vô lí 
Bởi vì $0<b+c,a+c<p$  
Vậy $a+b+c+d$ là hợp số

[Oo Nguyen Hoang Nguyen oO]

 

Cho a; b; c; d là  các số nguyên dương thoả $a^2+b^2-ab=c^2+d^2-cd$

Chứng minh a+b+c+d là hợp số

 

Ta có: $a,b,c,d\in \mathbb{N}^*\Rightarrow a+b+c+d>2$

$a^2+b^2-ab=c^2+d^2-cd\Leftrightarrow ab-cd=(c-d)^2-(a-b)^2=-(a-b-c+d)(a-b+c-d)$

$a^2+b^2-ab=c^2+d^2-cd\Leftrightarrow (a+b)^2-(c+d)^2=3(ab-cd)\Leftrightarrow (a+b+c+d)(a+b-c-d)=-3(a-b-c+d)(a-b+c-d)$

Giả sử $a+b+c+d$ là số nguyên tố

$\Rightarrow (a-b-c+d)\vdots (a+b+c+d)\vee (a-b+c-d)\vdots (a+b+c+d)\Leftrightarrow 2(a+d)\vdots (a+b+c+d)\vee 2(a+c)\vdots (a+b+c+d)\Leftrightarrow (a+d)\vdots (a+b+c+d)\vee (a+c)\vdots (a+b+c+d)$ (vô lý do $a,b,c,d\in \mathbb{N}^*$