Tìm giá trị lớn nhất của $K=\sqrt{x}+2\sqrt{y}$, trong đó $x,y$ không âm thoả mãn: $x^{3}+y^{3}=1.$
Tìm max: $K=\sqrt{x}+2\sqrt{y}.$
Bắt đầu bởi O0NgocDuy0O, 01-05-2016 - 10:46
#1
Đã gửi 01-05-2016 - 10:46
O0NgocDuy0O
-
- Thành viên
-
- 760 Bài viết
Trung úy
- nguyenhongsonk612, kunsomeone và goopd thích
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
#2
Đã gửi 01-05-2016 - 17:06
nguyenhongsonk612
-
- Thành viên
-
- 1451 Bài viết
Thượng úy
Tìm giá trị lớn nhất của $K=\sqrt{x}+2\sqrt{y}$, trong đó $x,y$ không âm thoả mãn: $x^{3}+y^{3}=1.$
Thật vui khi thấy em vẫn giữ "chữ kí" này
Giải:
Đặt $a=\frac{1}{\sqrt[3]{1+\sqrt[5]{64}}};b=\frac{\sqrt[5]{4}}{\sqrt[3]{1+\sqrt[5]{64}}}$
$\Rightarrow a^3+b^3=1; b=\sqrt[5]{4}a$ $\Rightarrow 3b^2\sqrt{b}=6a^2\sqrt{a}$
Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có
$\sqrt{ax}\leqslant \frac{a+x}{2}$
$a^2x=a.a.x\leqslant \frac{2a^3+x^3}{3}$
$\Rightarrow \sqrt{x}\leqslant \frac{5a^3+x^3}{6a^2\sqrt{a}}$
Tương tự ta cũng C/m được $2\sqrt{y}\leqslant \frac{5b^3+y^3}{3b^2\sqrt{b}}=\frac{5b^3+y^3}{6a^2\sqrt{a}}$
$\Rightarrow K\leq \frac{5(a^3+b^3)+x^3+y^3}{6a^2\sqrt{a}}=\frac{1}{a^2\sqrt{a}}=\begin{pmatrix} \sqrt[6]{1+\sqrt[5]{64}} \end{pmatrix}^5$
Vậy Max $K=\begin{pmatrix} \sqrt[6]{1+\sqrt[5]{64}} \end{pmatrix}^5 \Leftrightarrow x=a=\frac{1}{\sqrt[3]{1+\sqrt[5]{64}}};y=b=\frac{\sqrt[5]{4}}{\sqrt[3]{1+\sqrt[5]{64}}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 01-05-2016 - 17:14
- O0NgocDuy0O, PlanBbyFESN và NTA1907 thích
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
#3
Đã gửi 01-05-2016 - 17:09
O0NgocDuy0O
-
- Thành viên
-
- 760 Bài viết
Trung úy
Thật vui khi thấy em vẫn giữ "chữ kí" này
Giải:
Đặt $a=\frac{1}{\sqrt[3]{1+\sqrt[5]{64}}};b=\frac{\sqrt[5]{4}}{\sqrt[3]{1+\sqrt[5]{64}}}$
$\Rightarrow a^3+b^3=1; b=\sqrt[5]{4}a$ $\Rightarrow 3b^2\sqrt{b}=6a^2\sqrt{a}$
Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có
$\sqrt{ax}\leqslant \frac{a+x}{2}$
$a^2x=a.a.x\leqslant \frac{2a^3+x^3}{3}$
$\Rightarrow \sqrt{x}\leqslant \frac{5a^3+x^3}{6a^2\sqrt{a}}$
Tương tự ta cũng C/m được $2\sqrt{y}\leqslant \frac{5b^3+y^3}{3b^2\sqrt{b}}=\frac{5b^3+y^3}{6a^2\sqrt{a}}$
$\Rightarrow K\leq \frac{5(a^3+b^3)+x^3+y^3}{6a^2\sqrt{a}}=\frac{1}{a^2\sqrt{a}}=\begin{pmatrix} \sqrt[6]{1+\sqrt[5]{64}} \end{pmatrix}^5$
Vậy Max $K=\begin{pmatrix} \sqrt[6]{1+\sqrt[5]{64}} \end{pmatrix}^5 \Leftrightarrow x=a=\frac{1}{\sqrt[3]{1+\sqrt[5]{64}}};y=b=\frac{\sqrt[5]{4}}{\sqrt[3]{1+\sqrt[5]{64}}}$
Cảm ơn anh.
Nhân tiện cái chữ kí nó cho em khá nhiều động lực anh ạ!!!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 01-05-2016 - 17:47
- nguyenhongsonk612, kunsomeone và goopd thích
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
