Chủ đề này có 3 trả lời

[nuoccam]

Tìm x,y,z nguyên dương: $1 + 4^x + 4^y = z^2$

[I Love MC]

Không mất tính tổng quát ta giả sử $x \le y$ 

• Nếu $2x<y+1$ thì $(2^y)^2<z^2=1+4^x+4^y<(2^y+1)^2$ (mâu thuẫn)
• Nếu $2x=y+1$ thì $1+4^{\frac{y+1}{2}}+4^y=z^2 \Leftrightarrow z=2^y+1$. Ta thu được nghiệm $(m,2m-1,2^{2m-1}+1)$ với $m \in \mathbb{N^*}$ 
• Nếu $2x>y+1$ thì phương trình đã cho được viết lại thành 
  $2^{2x}(4^{y-x}+1)=(z-1)(z+1)$ 
  Vì $z$ lẻ nên $gcd(z-1,z+1)=2$ từ đó suy ra $2^{2x-1}|z-1$  hoặc $2^{2x-1}|z+1$ 
  Nếu $z=2^{2x-1}k+1$ với $k \in \mathbb{Z^+}$ 
  Thay vào phương trình cho ta : 
  $1+4^x+4^y=(2^{2x-1}k+1)^2 \Leftrightarrow 4^x+4^y=4^{2x-1}k^2+4^x.k \Leftrightarrow 1+4^{y-x}=4^{x-1}.k^2+k$ 
  Vì $2x>y+1$ nên $y-x<x-1$ suy ra $1+4^{y-x}<4^{k-1}k^2+k$  
  Nếu $z=2^{2x-1}k-1$ với $k \in \mathbb{Z^+}$ 
  Thay vào ta có $4^{y-x}+1=4^{x-1}k^2-k$ 
  Vì $2x>y+1$ nên $y-x<x-1$ suy ra $4^{x-1}k^2-k<4^{x-1}+1 \leftrightarrow k=1$ 
  Đến đây ta thu được : $4^{y-x}+1=4^{x-1}-1 \Rightarrow min\{x-1,y-x\}=1 \Rightarrow y-x=1\rightarrow x=y-1$  
  Đến đây ta thấy vô lí . 
  Vậy phương trình đã cho có nghiệm : $(m,2m-1,2^{2m-1}+1),(2m-1,m,2^{2m-1}+1)$

[nuoccam]

 

Không mất tính tổng quát ta giả sử $x \le y$ 

• Nếu $2x<y+1$ thì $(2^y)^2<z^2=1+4^x+4^y<(2^y+1)^2$ (mâu thuẫn)
• Nếu $2x=y+1$ thì $1+4^{\frac{y+1}{2}}+4^y=z^2 \Leftrightarrow z=2^y+1$. Ta thu được nghiệm $(m,2m-1,2^{2m-1}+1)$ với $m \in \mathbb{N^*}$ 
• Nếu $2x>y+1$ thì phương trình đã cho được viết lại thành 
  $2^{2x}(4^{y-x}+1)=(z-1)(z+1)$ 
  Vì $z$ lẻ nên $gcd(z-1,z+1)=2$ từ đó suy ra $2^{2x-1}|z-1$  hoặc $2^{2x-1}|z+1$ 
  Nếu $z=2^{2x-1}k+1$ với $k \in \mathbb{Z^+}$ 
  Thay vào phương trình cho ta : 
  $1+4^x+4^y=(2^{2x-1}k+1)^2 \Leftrightarrow 4^x+4^y=4^{2x-1}k^2+4^x.k \Leftrightarrow 1+4^{y-x}=4^{x-1}.k^2+k$ 
  Vì $2x>y+1$ nên $y-x<x-1$ suy ra $1+4^{y-x}<4^{k-1}k^2+k$  
  Nếu $z=2^{2x-1}k-1$ với $k \in \mathbb{Z^+}$ 
  Thay vào ta có $4^{y-x}+1=4^{x-1}k^2-k$ 
  Vì $2x>y+1$ nên $y-x<x-1$ suy ra $4^{x-1}k^2-k<4^{x-1}+1 \leftrightarrow k=1$ 
  Đến đây ta thu được : $4^{y-x}+1=4^{x-1}-1 \Rightarrow min\{x-1,y-x\}=1 \Rightarrow y-x=1\rightarrow x=y-1$  
  Đến đây ta thấy vô lí . 
  Vậy phương trình đã cho có nghiệm : $(m,2m-1,2^{2m-1}+1),(2m-1,m,2^{2m-1}+1)$

 

anh ơi đoạn xanh này làm thế nào tiếp ạ?

Tại sao đoạn đỏ lại "vô lí" ạ , em ko thấy nó vô lí chỗ nào cả?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nuoccam: 01-05-2016 - 21:05

[I Love MC]

anh ơi đoạn này làm thế nào tiếp ạ?

Thì cái phương trình ở trên vô nghiệm rồi vì $VT<VP$