Tìm a,b,c nguyên dương: $(a^3+b).(a+b^3) = 2^c$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nuoccam: 01-05-2016 - 11:14
Tìm a,b,c nguyên dương: $(a^3+b).(a+b^3) = 2^c$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nuoccam: 01-05-2016 - 11:14
Tìm a,b,c nguyên dương: $(a^3+b).(a+b^3) = 2^c$
Giải như sau:
TH1: $a=b$ dễ thấy $a=b=1$
TH2: Giả sử $a>b$. Từ điều kiện đề bài đặt $a^3+b=2^m,a+b^3=2^n$. Có $a^3+b>a+b^3$ nên $m>n\Rightarrow a+b^3|a^3+b$ $(1)$
Mặt khác, gọi $d=\gcd(a,b)\Rightarrow a=dx,b=dy$ với $(x,y)=1$ $\Rightarrow d^2(y+d^2x^3)(x+d^2y^3)=2^c$
Nếu $d\neq 1$ thì $d$ chẵn. Mà $y+d^2x^3,x+d^2y^3$ cũng chẵn nên $x,y$ chẵn ( vô lý). Do đó $(a,b)=1$
$\Rightarrow (1)\Leftrightarrow 2^n =a+b^3|b^8-1=(b^4-1)(b^4+1)$ suy ra $b$ lẻ.
Mà dễ thấy $\gcd(b^4-1,b^4+1)=2$ nên hoặc $2^{n-1}|b^4-1$ hoặc $2^{n-1}|b^4+1$
+) Nếu $2^{n-1}|b^4+1$: Thấy rằng vì $b$ lẻ nên $v_2(b^4+1)=1$, do đó $n-1=0,1\rightarrow n=1,2$. Thử thấy vô lý
+) Nếu $2^{n-1}|b^4-1=(b^2-1)(b^2+1)$. Tương tự như trên: $\gcd(b^2-1,b^2+1)=2$ nên hoặc $2^{n-2}|b^2+1$ hoặc $2^{n-2}|b^2-1$
Trường hợp $2^{n-2}|b^2+1$ mà $2||b^2+1$ nên $n-2=0,1$. Thử ta thấy không thỏa mãn
Trường hợp $2^{n-2}|b^2-1$. Đặt $b^2=2^{n-2}t+1$. Nếu $t=1\Rightarrow (b-1)(b+1)=2^{n-2}$. Phương trình tích ta dễ dàng tìm được $b=3$. Từ đó có bộ $(a,b,c)=(5,3,12)$ và hoán vị $(a,b)$. Nếu $t\geq 2$ thì $2^n=a+b^3>b(b^2+1)\geq b(2^{n-1}+2)>2^{n-1}b\Rightarrow b<2\rightarrow b=1\rightarrow 2^{n-2}+1=1$ (vô lý)
Vậy $(a,b,n)=(1,1,2), (5,3,12),(3,5,12)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocanh99: 02-05-2016 - 21:42
Giải như sau:
TH1: $a=b$ dễ thấy $a=b=1$
TH2: Giả sử $a>b$. Từ điều kiện đề bài đặt $a^3+b=2^m,a+b^3=2^n$. Có $a^3+b>a+b^3$ nên $m>n\Rightarrow a+b^3|a^3+b$ $(1)$
Mặt khác, gọi $d=\gcd(a,b)\Rightarrow a=dx,b=dy$ với $(x,y)=1$ $\Rightarrow d^2(y+d^2x^3)(x+d^2y^3)=2^c$
Nếu $d\neq 1$ thì $d$ chẵn. Mà $y+d^2y^3,x+d^2y^3$ cũng chẵn nên $x,y$ chẵn ( vô lý). Do đó $(a,b)=1$
$\Rightarrow (1)\Leftrightarrow 2^n =a+b^3|b^8-1=(b^4-1)(b^4+1)$ suy ra $b$ lẻ.
Mà dễ thấy $\gcd(b^4-1,b^4+1)=2$ nên hoặc $2^{n-1}|b^4-1$ hoặc $2^{n-1}|b^4+1$
+) Nếu $2^{n-1}|b^4+1$: Thấy rằng vì $b$ lẻ nên $v_2(b^4+1)=1$, do đó $n-1=0,1\rightarrow n=1,2$. Thử thấy vô lý
+) Nếu $2^{n-1}|b^4-1=(b^2-1)(b^2+1)$. Tương tự như trên: $\gcd(b^2-1,b^2+1)=2$ nên hoặc $2^{n-2}|b^2+1$ hoặc $2^{n-2}|b^2-1$
Trường hợp $2^{n-2}|b^2+1$ mà $2||b^2+1$ nên $n-2=0,1$. Thử ta thấy không thỏa mãn
Trường hợp $2^{n-2}|b^2-1$. Đặt $b^2=2^{n-2}t+1$. Nếu $t=1\Rightarrow (b-1)(b+1)=2^{n-2}$. Phương trình tích ta dễ dàng tìm được $b=3$. Từ đó có bộ $(a,b,c)=(5,3,12)$ và hoán vị $(a,b)$. Nếu $t\geq 2$ thì $2^n=a+b^3>b(b^2+1)\geq b(2^{n-1}+2)>2^{n-1}b\Rightarrow b<2\rightarrow b=1\rightarrow 2^{n-2}+1=1$ (vô lý)
Vậy $(a,b,n)=(1,1,2), (5,3,12),(3,5,12)$
Tại sao lại từ (1) suy ra đc cái này vậy chị?
Tại sao $b^8-1$ lại chia hết cho $2^n$ ?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nuoccam: 02-05-2016 - 21:35
Tại sao lại từ (1) suy ra đc cái này vậy chị?
Tại sao $b^8-1$ lại chia hết cho $2^n$ ?
$a+b^3|a^3+b\Leftrightarrow a+b^3|a^3+b^9-b^9+b$. Mà $a+b^3|a^3+b^9$ nên $a+b^3|b^9-b=b(b^8-1)$. Vì $(a,b)=1$ ( như đã cm ở trên) nên $(a+b^3,b)=1$
$\Rightarrow 2^n=a+b^3|b^8-1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocanh99: 02-05-2016 - 21:41
Giải như sau:
TH1: $a=b$ dễ thấy $a=b=1$
TH2: Giả sử $a>b$. Từ điều kiện đề bài đặt $a^3+b=2^m,a+b^3=2^n$. Có $a^3+b>a+b^3$ nên $m>n\Rightarrow a+b^3|a^3+b$ $(1)$
Mặt khác, gọi $d=\gcd(a,b)\Rightarrow a=dx,b=dy$ với $(x,y)=1$ $\Rightarrow d^2(y+d^2x^3)(x+d^2y^3)=2^c$
Nếu $d\neq 1$ thì $d$ chẵn. Mà $y+d^2y^3,x+d^2y^3$ cũng chẵn nên $x,y$ chẵn ( vô lý). Do đó $(a,b)=1$
$\Rightarrow (1)\Leftrightarrow 2^n =a+b^3|b^8-1=(b^4-1)(b^4+1)$ suy ra $b$ lẻ.
Mà dễ thấy $\gcd(b^4-1,b^4+1)=2$ nên hoặc $2^{n-1}|b^4-1$ hoặc $2^{n-1}|b^4+1$
+) Nếu $2^{n-1}|b^4+1$: Thấy rằng vì $b$ lẻ nên $v_2(b^4+1)=1$, do đó $n-1=0,1\rightarrow n=1,2$. Thử thấy vô lý
+) Nếu $2^{n-1}|b^4-1=(b^2-1)(b^2+1)$. Tương tự như trên: $\gcd(b^2-1,b^2+1)=2$ nên hoặc $2^{n-2}|b^2+1$ hoặc $2^{n-2}|b^2-1$
Trường hợp $2^{n-2}|b^2+1$ mà $2||b^2+1$ nên $n-2=0,1$. Thử ta thấy không thỏa mãn
Trường hợp $2^{n-2}|b^2-1$. Đặt $b^2=2^{n-2}t+1$. Nếu $t=1\Rightarrow (b-1)(b+1)=2^{n-2}$. Phương trình tích ta dễ dàng tìm được $b=3$. Từ đó có bộ $(a,b,c)=(5,3,12)$ và hoán vị $(a,b)$. Nếu $t\geq 2$ thì $2^n=a+b^3>b(b^2+1)\geq b(2^{n-1}+2)>2^{n-1}b\Rightarrow b<2\rightarrow b=1\rightarrow 2^{n-2}+1=1$ (vô lý)
Vậy $(a,b,n)=(1,1,2), (5,3,12),(3,5,12)$
không hiểu đoạn kia ai giải thích hộ đc k
LENG KENG...
không hiểu đoạn kia ai giải thích hộ đc k
nếu d khác 1 thì d= $2^x$ ==> d chẵn thôi bạn
chưa hiểu ý bạn
LENG KENG...
chưa hiểu ý bạn
Ta có tính chất sau: nếu a.b=$2^c$ thì (a=$2^m$ và b=$2^n$) (m+n=c) a,b,c,m,n là STN
tính chất cơ bản mà bạn
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nuoccam: 02-05-2016 - 21:54
??? a=2^m thì a là snt ???
LENG KENG...
không hiểu đoạn kia ai giải thích hộ đc k
@nuoccam: Ơ mình giải thích cụ thể thế còn gì !? Chính là thêm bớt như bạn Fr13nd nói đấy
@Fr13nd: Trong phương trình $d^2(y+d^2x^3)(x+d^2y^3)=2^c$ thì hiển nhiên $d$ là ước của $2^c$. Nếu $d$ lẻ thì $d=1$, nếu $d\neq 1$ thì hiển nhiên $d$ chẵn và có dạng $2^t$ nào đó với $t\leq c$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocanh99: 02-05-2016 - 21:55
Ta có tính chất sau: nếu a.b=$2^c$ thì (a=$2^m$ và b=$2^n$) (m+n=c) a,b,c,m,n là STN
tính chất cơ bản mà bạn
tính chất này mình biết rồi nhưng bạn viết sai
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Fr13nd: 02-05-2016 - 21:56
LENG KENG...
@nuoccam: Ơ mình giải thích cụ thể thế còn gì !? Chính là thêm bớt như bạn Fr13nd nói đấy
@Fr13nd: Trong phương trình $d^2(y+d^2x^3)(x+d^2y^3)=2^c$ thì hiển nhiên $d$ là ước của $2^c$. Nếu $d$ lẻ thì $d=1$, nếu $d\neq 1$ thì hiển nhiên $d$ chẵn và có dạng $2^t$ nào đó với $t\leq c$
xl, không để ý đoạn đó :v
LENG KENG...
Giải như sau:
TH1: $a=b$ dễ thấy $a=b=1$
TH2: Giả sử $a>b$. Từ điều kiện đề bài đặt $a^3+b=2^m,a+b^3=2^n$. Có $a^3+b>a+b^3$ nên $m>n\Rightarrow a+b^3|a^3+b$ $(1)$
Mặt khác, gọi $d=\gcd(a,b)\Rightarrow a=dx,b=dy$ với $(x,y)=1$ $\Rightarrow d^2(y+d^2x^3)(x+d^2y^3)=2^c$
Nếu $d\neq 1$ thì $d$ chẵn. Mà $y+d^2x^3,x+d^2y^3$ cũng chẵn nên $x,y$ chẵn ( vô lý). Do đó $(a,b)=1$
$\Rightarrow (1)\Leftrightarrow 2^n =a+b^3|b^8-1=(b^4-1)(b^4+1)$ suy ra $b$ lẻ.
Mà dễ thấy $\gcd(b^4-1,b^4+1)=2$ nên hoặc $2^{n-1}|b^4-1$ hoặc $2^{n-1}|b^4+1$
+) Nếu $2^{n-1}|b^4+1$: Thấy rằng vì $b$ lẻ nên $v_2(b^4+1)=1$, do đó $n-1=0,1\rightarrow n=1,2$. Thử thấy vô lý
+) Nếu $2^{n-1}|b^4-1=(b^2-1)(b^2+1)$. Tương tự như trên: $\gcd(b^2-1,b^2+1)=2$ nên hoặc $2^{n-2}|b^2+1$ hoặc $2^{n-2}|b^2-1$
Trường hợp $2^{n-2}|b^2+1$ mà $2||b^2+1$ nên $n-2=0,1$. Thử ta thấy không thỏa mãn
Trường hợp $2^{n-2}|b^2-1$. Đặt $b^2=2^{n-2}t+1$. Nếu $t=1\Rightarrow (b-1)(b+1)=2^{n-2}$. Phương trình tích ta dễ dàng tìm được $b=3$. Từ đó có bộ $(a,b,c)=(5,3,12)$ và hoán vị $(a,b)$. Nếu $t\geq 2$ thì $2^n=a+b^3>b(b^2+1)\geq b(2^{n-1}+2)>2^{n-1}b\Rightarrow b<2\rightarrow b=1\rightarrow 2^{n-2}+1=1$ (vô lý)
Vậy $(a,b,n)=(1,1,2), (5,3,12),(3,5,12)$
ký hiệu kia là số mũ phải không bạn, bạn có tài liệu, một số bài tập nào đề cập đến số mũ không, thanks.
LENG KENG...
tính chất này mình biết rồi nhưng bạn viết sai
sai chỗ nào bạn ?
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh