Chủ đề này có 3 trả lời

[becauseistilllive]

Cho $U=\{ (x,y)\in \mathbb{R}^{2} \, : x>y^{2} \}$ ,  $f :  U\rightarrow \mathbb{R}^{2}$

a) Xác định $f(U)$.

b) CMR: $f$ là một $C^{\infty }$ - vi phôi từ $U$ lên $f(U)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 09-05-2016 - 20:23

[WhjteShadow]

Cho $U=\{ (x,y)\in \mathbb{R}^{2} \, : x>y^{2} \}$ ,  $f :  U\rightarrow \mathbb{R}^{2}$

a) Xác định $f(U)$.

b) CMR: $f$ là một $C^{\infty }$ - vi phôi từ $U$ lên $f(U)$

Mình không hiểu đề bài lắm, $f$ không được cho trước thì làm sao xác định được $f(U)$ nhỉ, cái đó có thể là $\{0\}$ cũng có thể là $\mathbb{R}^{2}$ tùy theo $f$ mà.

[becauseistilllive]

Mình không hiểu đề bài lắm, $f$ không được cho trước thì làm sao xác định được $f(U)$ nhỉ, cái đó có thể là $\{0\}$ cũng có thể là $\mathbb{R}^{2}$ tùy theo $f$ mà.

$f(x,y)=(x,xy-\frac{y^{3}}{3})$ nhé! Mình gõ thiếu

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 10-05-2016 - 00:19

[WhjteShadow]

$f(x,y)=(x,xy-\frac{y^{3}}{3})$ nhé! Mình gõ thiếu

Gọi $f(y)=xy-\frac{y^3}{3}$, $f'(y)=x-y^2>0$ nên $f(y)$ là hàm tăng, $f(0)=0, \, f(\sqrt{x})=\frac{2}{3}\sqrt{x^3}$ nên $f$ sẽ nhận tất cả các giá trị trong khoảng $[0;\frac{2}{3}\sqrt{x^3})$. Vậy $f(U)=V$ với $V= \{ (x,z) | 0<x, 0\leq z<\frac{2}{3}\sqrt{x^3}\}$

Do $f$ khả vi liên tục vô hạn lần theo các hướng $x,y$ nên dễ thấy $f$ khả vi vô hạn lần. Xét ánh xạ ngược $f^{-1}(x,xy-\frac{y^3}{3})=(x,y)$, ta sẽ tìm cụ thể công thức của ánh xạ ngược bằng cách giải pt $z=xy-\frac{y^3}{3}$, tương đương : $$4\left(\frac{y}{2\sqrt{x}}\right)^3- 3\frac{y}{2\sqrt{x}}= -\frac{3z}{2\sqrt{x^3}}$$

$$\Leftrightarrow \cos (3\arccos(\frac{y}{2\sqrt{x}}))=-\frac{3z}{2\sqrt{x^3}}$$

$$\Leftrightarrow y=\cos \left(\frac{1}{3}\arccos(-\frac{3z}{2\sqrt{x^3}})\right)$$

Hàm theo $x,z$ này cũng khả vi vô hạn lần theo hướng $x,z$ tùy ý nên ánh xạ ngược cũng khả vi vô hạn lần. Ta có điều phải chứng minh.

Làm bằng Carnado thì tốt hơn nhỉ @@