Chủ đề này có 1 trả lời

[hoctrocuaHolmes]

Chia 2 tập hợp $(1,2,..,2n)$ thành 2 tập con rời nhau $A$ và $B$,mỗi tập có $n$ phần tử.

Kí hiệu các phần tử của 2 tập hợp này theo thứ tự tăng $ A=\left \{ a_{1}<a_{2}<...<a_{n-1}<a_{n} \right \};B=\left \{ b_{n}<b_{n-1}<...<b_{2}<b_{1} \right \}$

Chứng minh:

$\left | a_{1}-b_{1} \right |+\left | a_{2}-b_{2} \right |+...+\left | a_{n}-b_{n} \right |=n^{2}$

[I Love MC]

Nhận thấy nếu ta chia tập hợp đã cho thành hai tập hợp con sắp thứ tự một cách tự nhiên : 
$A=\{a_1=1,a_2=2,...,a_n=n\}$ và $B=\{b_n=n+1,b_{n-1}=n+2,..,b_1=2n\}$ thì ta có : 
$|a_1-b_1|+..+|a_n-b_n|=n^2$ 
Ta có bằng cách tăng giá trị của $a_i$ và giảm giá trị của $b_i$ (mỗi bước thay đổi ta gọi là "đổi chỗ" các phần tử $A$ và $B$). 
Xét mọi khả năng phân bố xét kẽ các giá trị của $a_i$ và $b_i$ trong khoảng từ $1 \rightarrow 2n$ mà vẫn giữ nguyên thứ tự của chúng trong từng tập con . 
Việc này sẽ dừng lại khi mà : $A=\{a_1=n+1,a_2=n+2,...,a_n=2n\}$ và $B=\{b_n=1,b_{n-1}=2,..,b_1=n\}$ 
Trước khi đổi chỗ $a_i=k,b_i=k+1$ thì sau khi đổi chỗ ta có $a_i=k+1,b_i=k$ 
Vì các giá trị của $a_i$ và $b_i$ không đổi sau lần thay đổi chỗ này nên tổng $|a_i-b_i|+|a_j-b_j|$ cũng không đổi. Do đó toàn bộ tổng trị tuyệt đối của các hiệu  sẽ không đổi và bằng giá trị ban đầu là $n^2$