Chủ đề này có 1 trả lời

[hungvutuan]

$x^2-mxy+y^2+1=0$

[I Love MC]

Xét phương trình $x^2-mxy+y^2+1=0$ (*)
Gọi $X,Y$ là cặp số thỏa đề bài để sao cho $x_0+y_0$ nhỏ nhất  ($x_0 \le y_0$)
Xét phương trình trên ẩn $y$ . 
Vì $x_0,y_0$ thỏa mãn đề bài nên $y_0$ là một nghiệm của (*) . Gọi nghiệm còn lại là $y_1$ 
Ta có theo hệ thức Vieta : 
$y_1+y_0=mx,y_1.y_0=x^2+1$ 
Dễ thấy $y_0 \in  \mathbb{Z}$ 
Vì $x_0+y_0$ nhỏ nhất nên $x_0+y_0 \le x_0+y_1 \leftrightarrow y_0 \ge y_1$ 
Suy ra $y_1 \ge y_0 \ge x_0$ 
Trường hợp 1 : Xét $x_0=y_0$ 
Thì ta có $m=\frac{x^2+y^2+1}{xy}=2+\frac{1}{x_0y_0}$ từ đó suy ra $x_0=y_0=1$ và $m=3$  
Trường hợp 2 : $y_0=y_1$ 
Thì ta có $y_1y_0=y_0^2=x_0^2+1$ từ đó suy ra $x_0,y_0$ 
$x_0=0,y_0=1$ nhưng thế vào bài thì không có $m$ thỏa mãn 
Trường hợp 3 : $y_1>y_0>x_0$ 
Suy ra $\begin{cases} &y_0 \ge x_0+1&\\&y_1 \ge x_0+2 \end{cases}$
Ta có $y_0y_1=x_0^2+1 \ge (x_0+1)(x_0+2)$ nhưng bất phương trình này đưa ta đến điều vô lí 
Vậy $m=3$ là thỏa đề bài