Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa ab+bc+ca>0 chứng minh
1. $\sqrt{\frac{a}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{c}{c+a}}\geq 1+(6-2\sqrt{2})\sqrt{\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$
Bài 1:
BĐT $\Leftrightarrow \sum \sqrt{a(b+c)(c+a)}\geq \sqrt{(a+b)(b+c)(c+a)}+(6-2\sqrt{2})\sqrt{abc}$
Bình phương hai vế và rút gọn, ta quy về chứng minh:
$a^2b+b^2c+c^2a+2\sqrt{\prod(a+b)}(\sqrt{ab(a+c)}+\sqrt{bc(a+b)}+\sqrt{ac(b+c)})\geq (43-24\sqrt{2})abc+2(6-2\sqrt{2})\sqrt{abc\prod(a+b)}$
BĐT này hiển nhiên đúng vì theo AM-GM ta có các đánh giá sau:
#1 $a^2b+b^2c+c^2a\geq 3abc$
#2 $\sqrt{\prod(a+b)}[\sum \sqrt{ab(a+c)}]\geq 6\sqrt{(a+b)(b+c)(c+a)}\sqrt[6]{(abc)^2\prod (a+b)}\geq 6\sqrt{2}\sqrt{abc\prod (a+b)}$
#3 $\sqrt{abc(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2\sqrt{2}abc$
Do đó ta có đpcm
Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocanh99: 02-05-2016 - 19:18