Chủ đề này có 4 trả lời

[Gachdptrai12]

cho a,b,c là các số thực không âm thỏa ab+bc+ca>0 chứng minh

$\sqrt{\frac{a}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{c}{c+a}}\geq 1+(6-2\sqrt{2})\sqrt{\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$

2)

$2+(6-4\sqrt{2})\sqrt{\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}\geq \sqrt{\frac{a}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{c}{c+a}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 01-05-2016 - 23:51

[Chris yang]

 

 

 

Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa ab+bc+ca>0 chứng minh

1. $\sqrt{\frac{a}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{c}{c+a}}\geq 1+(6-2\sqrt{2})\sqrt{\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$

 

 

Bài 1:

 

BĐT $\Leftrightarrow \sum \sqrt{a(b+c)(c+a)}\geq \sqrt{(a+b)(b+c)(c+a)}+(6-2\sqrt{2})\sqrt{abc}$

Bình phương hai vế và rút gọn, ta quy về chứng minh:

$a^2b+b^2c+c^2a+2\sqrt{\prod(a+b)}(\sqrt{ab(a+c)}+\sqrt{bc(a+b)}+\sqrt{ac(b+c)})\geq (43-24\sqrt{2})abc+2(6-2\sqrt{2})\sqrt{abc\prod(a+b)}$

BĐT này hiển nhiên đúng vì theo AM-GM ta có các đánh giá sau:

#1  $a^2b+b^2c+c^2a\geq 3abc$

#2  $\sqrt{\prod(a+b)}[\sum \sqrt{ab(a+c)}]\geq 6\sqrt{(a+b)(b+c)(c+a)}\sqrt[6]{(abc)^2\prod (a+b)}\geq 6\sqrt{2}\sqrt{abc\prod (a+b)}$

 #3 $\sqrt{abc(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2\sqrt{2}abc$

Do đó ta có đpcm

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocanh99: 02-05-2016 - 19:18

[Gachdptrai12]

 

cho a,b,c là các số thực không âm thỏa ab+bc+ca>0 chứng minh

$\sqrt{\frac{a}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{c}{c+a}}\geq 1+(6-2\sqrt{2})\sqrt{\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$

2)

$2+(6-4\sqrt{2})\sqrt{\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}\geq \sqrt{\frac{a}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{c}{c+a}}$

 

bài 2 là thế này

áp dụng bđt C-S ta có 

${\left(\sum \sqrt{\frac{a}{a+b}}\right)^2 \le \left[ \sum (a+c)\right] \left[\sum \frac{a}{(a+b)(a+c)}\right] =4\left[1+\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\right].}$

từ đây đặt 

$x=\sqrt{\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}},\, 0 <x \le \frac{1}{2}.$ ta cần chứng minh 

$4+2x^2\le \left[2+\left(3\sqrt{2}-4\right) x\right]^2$ 

bđt này tương đương với 

$2+x^2 \le \left[1+\left(3-2\sqrt{2}\right)x\right]^2=1+2\left(3-2\sqrt{2}\right)x+\left(17-12\sqrt{2}\right)x^2,$

tương đương 

$2\left(3-2\sqrt{2}\right)x(1-2x) \ge 0$ hiển nhiên đúng 

 

 

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 03-05-2016 - 23:28

[Gachdptrai12]

ta có 1 bài toán khác 

3) cho a,b,c không âm thỏa $ab+bc+ca> 0$ chứng minh

$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geq 2+(6-4\sqrt{2})\sqrt{\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$

[Gachdptrai12]

4) một bđt mạnh hơn bđt 1) cho a,b,c thỏa ab+bc+ca>0 chứng minh

$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a+b}}+\frac{\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{b+c}}+\frac{\sqrt{c}+\sqrt{a}}{\sqrt{c+a}} \ge 3+\left(12-6\sqrt{2}\right)\sqrt{\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$