Chủ đề này có 4 trả lời

[Gachdptrai12]

x,y,z dương thỏa x+y+z=1

$\frac{2x-x^{2}}{2x^{2}-2x+1}+\frac{2y-y^{2}}{2y^{2}-2y+1}+\frac{2z-z^{2}}{2z^{2}-2z+1}\leq 3$

 

[ngothithuynhan100620]

Bạn nào có tài liệu về BDT hay để thi vào trường chuyên không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngothithuynhan100620: 02-05-2016 - 06:34

[tritanngo99]

Ta có $2x^2-2x+1=(9x^2+1)-7x^2-2x\ge 6x-7x^2-2x=4x-7x^2$

Khi đó $\sum\frac{2x-x^2}{2x^2-2x+1}\le \sum\frac{2x-x^2}{4x-7x^2}=\sum\frac{2-x}{4-7x}$

Ta đi chứng minh:

$\sum\frac{2-x}{4-7x}\le 3\iff \sum\frac{x-2}{7x-4}\le 3\iff \sum\frac{6x-2}{7x-4}\ge 0$

Xét $f(t)=\frac{6t-2}{7t-4}$

Ta có: $f'(t)=\frac{-10}{(7t-4)^2}\le 0$

Từ đây suy ra f nghịch biến trên (0;1) (do x,y,z thuộc (0;1))

Không mất tính tổng quát giả sử: $x\le y\le z=> x\le \frac{1}{3}$

Ta cần CM: $ \sum\frac{6x-2}{7x-4}\ge 0$ hay ta đi chứng minh: $P=f(x)+f(y)+f(z)\ge 0$

Thật vậy:

Do f nghịch biến trên R và $x\le \frac{1}{3}$ nên $P\ge 3f(x)\ge 0$

Từ đây ta có điều phải chứng minh. Dấu = xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 02-05-2016 - 06:32

[Gachdptrai12]

Bạn nào có tài liệu về BDT hay để thi vào trường chuyên khôn

có quyển sách PP giải toán BĐT và cực trị cho HS8,9 của Vqbc ĐÓ BẠN

[Gachdptrai12]

Ta có $2x^2-2x+1=(9x^2+1)-7x^2-2x\ge 6x-7x^2-2x=4x-7x^2$

Khi đó $\sum\frac{2x-x^2}{2x^2-2x+1}\le \sum\frac{2x-x^2}{4x-7x^2}=\sum\frac{2-x}{4-7x}$

Ta đi chứng minh:

$\sum\frac{2-x}{4-7x}\le 3\iff \sum\frac{x-2}{7x-4}\le 3\iff \sum\frac{6x-2}{7x-4}\ge 0$

Xét $f(t)=\frac{6t-2}{7t-4}$

Ta có: $f'(t)=\frac{-10}{(7t-4)^2}\le 0$

Từ đây suy ra f nghịch biến trên (0;1) (do x,y,z thuộc (0;1))

Không mất tính tổng quát giả sử: $x\le y\le z=> x\le \frac{1}{3}$

Ta cần CM: $ \sum\frac{6x-2}{7x-4}\ge 0$ hay ta đi chứng minh: $P=f(x)+f(y)+f(z)\ge 0$

Thật vậy:

Do f nghịch biến trên R và $x\le \frac{1}{3}$ nên $P\ge 3f(x)\ge 0$

Từ đây ta có điều phải chứng minh. Dấu = xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

ta có phân tích

${\sum \frac{2x-x^2}{2x^2-2x+1}-3 =\frac{4(x-y)^2(y-z)^2(z-x)^2}{\prod (2x^2-2x+1)} -\sum \frac{(y-z)^2(y+z-x)^2}{(2y^2-2y+1)(2z^2-2z+1)},}$ 

từ đây ta chứng minh

 

$\sum \frac{(y-z)^2(y+z-x)^2}{(2y^2-2y+1)(2z^2-2z+1)} \ge \frac{4(x-y)^2(y-z)^2(z-x)^2}{\prod (2x^2-2x+1)}.$

giả sử $x\geq y\geq z$

ta chứng minh bđt mạnh hơn

$\frac{(x-y)^2(x+y-z)^2}{(2x^2-2x+1)(2y^2-2y+1)} \ge \frac{4(x-y)^2(y-z)^2(z-x)^2}{\prod (2x^2-2x+1)}$

bđt tương đương

$(2z^2-2z+1)(x+y-z)^2 \ge 4(x-z)^2(y-z)^2.$

ta có 

$(x+y-z)^2 \ge (x+y-2z)^2 \ge 4(x-z)(y-z) \ge 0$

và 

$2z^2-2z+1=z^2+(x+y)^2 \ge (x+y)^2 \ge (x+y-2z)^2 \ge 4(x-z)(y-z) \ge 0,$

từ đây ta có đpcm