Chủ đề này có 3 trả lời

[Truong Gia Bao]

Cho các số thực $x,y$ thỏa mãn: $xy \geq 0, x+y \neq 1$. Chứng minh rằng: 

$\frac{2xy}{x+y}+\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}} \geq \frac{x+y}{2}+\sqrt{xy}$

[cristianoronaldo]

Bài toán này chỉ đơn thuần chứng minh theo cách biến đổi tương đương mà thôi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cristianoronaldo: 02-05-2016 - 14:07

[cristianoronaldo]

Ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}-\sqrt{xy}\geq \frac{x+y}{2}-\frac{2xy}{x+y}$

<=>$\frac{(x-y)^2}{\sqrt{2(x^2+y^2)}+2\sqrt{xy}}\geq \frac{(x-y)^2}{2(x+y)}$

Như vậy ta cần chưng minh:

$\sqrt{2(x^2+y^2)}+2\sqrt{xy}\leq 2(x+y)$

<=>$\sqrt{2(x^2+y^2)}-(x+y)\leq (x+y)-2\sqrt{xy}$

<=>$\frac{(x-y)^2}{\sqrt{2(x^2+y^2)}+(x+y)}\leq \frac{(x-y)^2}{(x+y)+2\sqrt{xy}}$

cuối cùng ta chỉ cần chứng minh:

$\sqrt{2(x^2+y^2)}\geq 2\sqrt{xy}$

BĐT này đúng vì áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số x^2 và y^2

Dấu "=" xảy ra khi x=y

[cristianoronaldo]

Tôi có một bài tương tự :

Cho a,b là các số thực dương. Cmr:

 $(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+4\sqrt{2}\frac{a+b}{\sqrt{a^2+b^2}}\geq 10$

 

Bài toán này tương tự bài trên

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cristianoronaldo: 02-05-2016 - 14:21