Cho $x,y,z> 0$ thoả mãn: $x+y+z=1$
Chứng minh: $\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}+\frac{1}{xyz}\geq 30$
$\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}+\frac{1}{xyz}\geq 30$
Bắt đầu bởi Cuongpa, 02-05-2016 - 11:34
#1
Đã gửi 02-05-2016 - 11:34
Cuongpa
-
- Thành viên
-
- 238 Bài viết
Thượng sĩ
Success doesn't come to you. You come to it.
#2
Đã gửi 02-05-2016 - 14:41
trananhhieudck
-
- Thành viên mới
-
- 14 Bài viết
Binh nhì
Cho $x,y,z> 0$ thoả mãn: $x+y+z=1$
Chứng minh: $\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}+\frac{1}{xyz}\geq 30$
Ta có :vì x+y+z=1 nên ta có$\frac{1}{xyz}=\frac{x+y+z}{xyz}=\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\geq \frac{9}{xy +yz+zx}$
khi đó áp dụng bất đẳng thức Svác-xơ và bđt $3(xy+yz+zx)\leq (x+y+z)^{2}$
ta có
$\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}+\frac{1}{xy+yz+zx}+\frac{1}{xy+yz+zx}+\frac{7}{xy+yz+zx}\geq \frac{9}{(x+y+z)^{2}}+\frac{21}{(x+y+z)^{2}}=30$
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=$\frac{1}{3}$
- Shin Janny, tpdtthltvp, Cuongpa và 3 người khác yêu thích
"Khi tôi đã quyết định con đường cho mình, kẻ được nói tôi ngu ngốc chỉ có bản thân tôi mà thôi"-Roronoa Zoro
#3
Đã gửi 02-05-2016 - 15:35
SKT T1 SPAK
-
- Thành viên
-
- 80 Bài viết
Hạ sĩ
Ta có: $xyz=1xyz=(x+y+z)xyz\leq \frac{(xy+yz+zx)^{2}}{3}$
Lại có: $xy+yz+xz\leq \frac{(x+y+z)^{2}}{3}=\frac{1}{3}$
$\Rightarow xyz\leq \frac{1}{9(xyz+yz+xz)}$
$\Rightarrow \frac{1}{xyz}\geq \frac{9}{xy+yz+xz}$
đến dây xong rồi còn gì :V
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
