Chủ đề này có 5 trả lời

[hoctrocuaHolmes]

Cho tam giác $ABC$ có 3 đường cao $AD,BE,CF$ đồng quy tại $H$.Gọi $M$ là giao điểm $FD$ và $BH$,$N$ là giao điểm $DE$ và $HC$.$I$ là tâm đường tròn Euler.Cm:$MN$ vuông góc $AI$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 02-05-2016 - 22:12

[ineX]

Gọi $(K)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $BHC$. Có $A$ là trực tâm tam giác $BHC$, đường tròn $(E)$ là đường tròn Euler của tam giác $HBC$ nên $I$ là trung điểm $AK$/

 

Ta chứn mình $MN$ vuông góc với $EI$

Do 4 điểm $B,F,H,D$ đồng viên, $H,E,C,D$ đồng viên nên

$$P(M/(K))=MB.MH=MD.MF$$

$$P(N/(K))=NH.NC=ND.NE$$

Suy ra $M,N$ có cùng phương tích với $(E)$ và $(K)$ nên $MN$ là trục đẳng phương do đó có đpcm!

 

(hình vẽ thì mình không biết dùng thế nào.

Đây là đề thi hsg lớp 10 trường THPT chuyên Nguyễn Trãi chọn đội tuyển thi Olympic Duyên Hải năm 2015)

[hoanam25]

Gọi $(K)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $BHC$. Có $A$ là trực tâm tam giác $BHC$, đường tròn $(E)$ là đường tròn Euler của tam giác $HBC$ nên $I$ là trung điểm $AK$/

 

Ta chứn mình $MN$ vuông góc với $EI$

Do 4 điểm $B,F,H,D$ đồng viên, $H,E,C,D$ đồng viên nên

$$P(M/(K))=MB.MH=MD.MF$$

$$P(N/(K))=NH.NC=ND.NE$$

Suy ra $M,N$ có cùng phương tích với $(E)$ và $(K)$ nên $MN$ là trục đẳng phương do đó có đpcm!

 

(hình vẽ thì mình không biết dùng thế nào.

Đây là đề thi hsg lớp 10 trường THPT chuyên Nguyễn Trãi chọn đội tuyển thi Olympic Duyên Hải năm 2015)

 

Phiền bạn Inex giải thích rõ hơn được không? có thể giải theo cách lớp 9 được không? khái niệm "đồng viên", trục đẳng phương ... khó hiểu quá!!! cám ơn bạn.

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanam25: 03-05-2016 - 00:02

[Hoang Nhat Tuan]

Cho tam giác $ABC$ có 3 đường cao $AD,BE,CF$ đồng quy tại $H$.Gọi $M$ là giao điểm $FD$ và $BH$,$N$ là giao điểm $DE$ và $HC$.$I$ là tâm đường tròn Euler.Cm:$MN$ vuông góc $AI$

 

Gọi $(K)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $BHC$. Có $A$ là trực tâm tam giác $BHC$, đường tròn $(E)$ là đường tròn Euler của tam giác $HBC$ nên $I$ là trung điểm $AK$/

 

Ta chứn mình $MN$ vuông góc với $EI$

Do 4 điểm $B,F,H,D$ đồng viên, $H,E,C,D$ đồng viên nên

$$P(M/(K))=MB.MH=MD.MF$$

$$P(N/(K))=NH.NC=ND.NE$$

Suy ra $M,N$ có cùng phương tích với $(E)$ và $(K)$ nên $MN$ là trục đẳng phương do đó có đpcm!

 

(hình vẽ thì mình không biết dùng thế nào.

Đây là đề thi hsg lớp 10 trường THPT chuyên Nguyễn Trãi chọn đội tuyển thi Olympic Duyên Hải năm 2015)

Thực ra bài toán này chính là một bổ đề có nhiều ứng dụng mà thầy Hùng đã đề cập đến trong này

[kute2015]

Giải theo cách ở trên thì thật là khó hiểu cho chúng em ở THCS, kiến thức trên quá tầm so với bọn em. Làm ơn quý thiện tri thức nào có thể giải bài trên một cách dễ hiểu hơn không? Cho chúng em được học hỏi! 

[nntien]

Gọi $(K)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $BHC$. Có $A$ là trực tâm tam giác $BHC$, đường tròn $(E)$ là đường tròn Euler của tam giác $HBC$ nên $I$ là trung điểm $AK$/

 

Ta chứn mình $MN$ vuông góc với $EI$

Do 4 điểm $B,F,H,D$ đồng viên, $H,E,C,D$ đồng viên nên

$$P(M/(K))=MB.MH=MD.MF$$

$$P(N/(K))=NH.NC=ND.NE$$

Suy ra $M,N$ có cùng phương tích với $(E)$ và $(K)$ nên $MN$ là trục đẳng phương do đó có đpcm!

 

(hình vẽ thì mình không biết dùng thế nào.

Đây là đề thi hsg lớp 10 trường THPT chuyên Nguyễn Trãi chọn đội tuyển thi Olympic Duyên Hải năm 2015)

Các điểm "đồng viên" là các điểm cùng thuộc một đường tròn.

Có thể né tránh việc dùng "trục đẳng phương" như sau:

Gọi (d) là đường thẳng đi qua hai giao điểm chung của (K) và (I) là P, Q. Ta dễ dàng chứng minh được $M, N \in (d)$. Mà $IK$ là đường nối hai tâm => $IK$ vuông góc với $MN$.

 

Ta chứng minh phần tô đậm (xem như là bài toán nhỏ)

Giả sử $M \notin (d)$ => $PM$ không đi qua Q và cắt (K), (I) lần lượt là $Q_K, Q_I$

Ta có: $MF.MD=MP.MQ_I$, $MB.MH=MP.MQ_K$

Mà $MF.MD=MB.MH$ => $MQ_I=MQ_K$ => $Q_I, Q_K, Q$ trùng nhau => $M, N \in (d)$