Chủ đề này có 4 trả lời

[cristianoronaldo]

Bài 1, Cho a,b,c là các số thực dương.Cmr:

$\sqrt{\frac{a+b}{c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}\geq 2(\sqrt{\frac{c}{a+b}}+\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}})$

Bài 2, Cho x,y,z$\neq 1$ và xyz=1. Cmr:

$(\frac{x}{x-1})^2+(\frac{y}{y-1})^2+(\frac{z}{z-1})^2\geq 1$

Bài 3, Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\leq 2$.Cmr:

$\sum \frac{1+ab}{(a+b)^2}\geq 3$

Bài 4, cho a,b,c là các số thực dương.Cmr:

$\sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{c+a}}\leq 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 16-04-2021 - 17:04

[NTA1907]

Bài 2, Cho x,y,z$\neq 1$ và xyz=1. Cmr:

$(\frac{x}{x-1})^2+(\frac{y}{y-1})^2+(\frac{z}{z-1})^2\geq 1$

Bài toán 2

[tpdtthltvp]

Bài 4, cho a,b,c là các số thực dương.Cmr:

$\sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{c+a}}\leq 3$

http://diendantoanho...rac2cc-a-leq-3/

[KietLW9]

Bài 3, Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\leq 2$.Cmr:

$\sum \frac{1+ab}{(a+b)^2}\geq 3$

Áp dụng giả thiết, ta có: $\sum_{cyc}\frac{1+ab}{(a+b)^2}=\sum_{cyc}\frac{2+2ab}{2(a+b)^2}\geqslant \sum_{cyc}\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+2ab}{2(a+b)^2}=\sum_{cyc}\frac{(a+b)^2+(c+a)(c+b)}{2(a+b)^2}=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\sum_{cyc}\frac{(c+a)(c+b)}{(a+b)^2}\geqslant \frac{3}{2}+\frac{1}{2}.3\sqrt[3]{\frac{(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2}{(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2}}=3$

[KietLW9]

Bài 1, Cho a,b,c là các số thực dương.Cmr:

$\sqrt{\frac{a+b}{c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}\geq 2(\sqrt{\frac{c}{a+b}}+\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}})$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $(\sqrt{\frac{a+b}{c}}-\frac{2\sqrt{c}}{\sqrt{a+b}})+(\sqrt{\frac{b+c}{a}}-\frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{b+c}})+(\sqrt{\frac{c+a}{b}}-\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{c+a}})\geqslant 0\Leftrightarrow \frac{b+c-2a}{\sqrt{a(b+c)}}+\frac{c+a-2b}{\sqrt{b(c+a)}}+\frac{a+b-2c}{\sqrt{c(a+b)}}\geqslant 0$

Giả sử $a\geqslant b\geqslant c$ thì $b+c-2a\leqslant c+a-2b\leqslant a+b-2c$ và $\frac{1}{\sqrt{a(b+c)}}\leqslant \frac{1}{\sqrt{b(c+a)}}\leqslant \frac{1}{\sqrt{c(a+b)}}$

Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev cho 2 dãy đơn điệu cùng chiều $b+c-2a\leqslant c+a-2b\leqslant a+b-2c$ và $\frac{1}{\sqrt{a(b+c)}}\leqslant \frac{1}{\sqrt{b(c+a)}}\leqslant \frac{1}{\sqrt{c(a+b)}}$, ta được: $3(\frac{b+c-2a}{\sqrt{a(b+c)}}+\frac{c+a-2b}{\sqrt{b(c+a)}}+\frac{a+b-2c}{\sqrt{c(a+b)}})\geqslant (b+c-2c+c+a-2b+a+b-2c)(\frac{1}{\sqrt{a(b+c)}}+ \frac{1}{\sqrt{b(c+a)}}+ \frac{1}{\sqrt{c(a+b)}})=0$

Vậy ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $a = b = c$