Chủ đề này có 3 trả lời

[Minhnguyenthe333]

Cho $p$ là số nguyên tố lớn hơn $2$.CMR: $\left \lfloor (2+\sqrt{5})^p \right \rfloor \equiv 2^{p+1} (\mod p)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 03-05-2016 - 20:57

[Ego]

Dạo này topic Số học THCS toàn bài ghê ghê nhỉ ._.
Đặt $a = \sqrt{5} + 2$ và $b = \sqrt{5} - 2$. Theo F.L.T cho $\gcd(p, 2) = 1$, ta có $2^{p + 1} \equiv 4\pmod{p}$
Ta cần chứng minh $\left\lfloor a^{p}\right\rfloor \equiv 4\pmod{p}$
Nhận xét là $0 < b^{p} < 1$
Do đó $a^{p} - b^{p} < a^{p} < a^{p} - b^{p} + 1$. Mặt khác, dễ dàng chứng minh $a^{p} - b^{p}$ là số nguyên.
Từ đó ta có $\left\lfloor a^{p}\right\rfloor = a^{p} - b^{p} = \left(\sqrt{5} + 2\right)^{p} - \left(\sqrt{5} - 2\right)^{p}$
Xét trên modulo $p$, dùng bổ đề cơ bản $(m + n)^{p} \equiv m^{p} + n^{p}\pmod{p}$
Áp dụng, ta có $a^{p} - b^{p} \equiv (\sqrt{5})^{p} + 2^{p} - (\sqrt{5})^{p} + 2^{p} \equiv 2^{p + 1} \equiv 4\pmod{p}$.
Xong. $\bigstar$

[Chris yang]

Giải như sau:

Với $A_p, B_p$ là các số nguyên dương, ta luôn có thể viết được $\left\{\begin{matrix}(2+\sqrt{5})^p=A_p+B_p\sqrt{5} & \\ (2-\sqrt{5})^p=A_p-B_p\sqrt{5} & \end{matrix}\right.\Rightarrow (2+\sqrt{5})^p+(2-\sqrt{5})^p=2A_p$

Mà $0>(2-\sqrt{5})^p>-1$ với mọi $p$ lẻ nên $\left \lfloor (2+\sqrt{5})^p \right \rfloor=2A_p$

Bằng khai triển nhị thức Newton:

$A_p=C_{p}^{1}2(\sqrt{5})^{p-1}+C_{p}^{3}2^3(\sqrt{5})^{p-3}+...+ C_{p}^{p}2^p(\sqrt{5})^0$

Thấy rằng với $k<p$ thì luôn có $p|C_{p}^{k}$. Do đó mà

$A_p\equiv 2^p\pmod p\Rightarrow 2A_p\equiv 2^{p+1}\pmod p\Rightarrow \left \lfloor (2+\sqrt{5})^p \right \rfloor\equiv 2^{p+1}\pmod p$

Ta có đpcm

 

P.s: Với điều kiện như trên ta có thể có CM mạnh hơn nữa là $\left \lfloor (2+\sqrt{5})^p \right \rfloor\equiv 2^{p+1}\pmod {20p}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocanh99: 03-05-2016 - 18:20

[I Love MC]

Cho $p$ là số nguyên tố lớn hơn $2$.CMR: $\left \lfloor (2+\sqrt{5})^p \right \rfloor \equiv 2^{p+1} \mod (p)$

Bài toán tương tự . Tìm số nguyên tố $p$ nhỏ nhất để : $[(3+\sqrt{p})^{2n}] \equiv -1 \pmod{2^{n+1}}$