Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng $2^{n} + 1$ không chia hết cho $2^{m} - 1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Ego

Ego

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 296 Bài viết

Cho $m > 2, n$ là các số nguyên dương. Chứng minh rằng $2^{n} + 1$ không chia hết cho $2^{m} - 1$.



#2
LuaMi

LuaMi

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 46 Bài viết

Ta xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1: $m>n$. Ta dễ chứng minh được $0<2^n+1<2^m-1$ với lưu ý rằng $0<2^n+1\leq 2^{m-1}+1<2^m-1$ và $m>2$

Trường hợp 2: $m=n$. Dễ thấy bài toán đúng

Trường hợp 3: $m<n$. Đặt $n=km+r$ với $0<r<m$. Ta có:

$2^n+1=2^{mk+r}+1=2^r((2^m)^k-1)+(2^r+1)$

Từ trường hợp 1 ta có ngay bài toán đúng với trường hợp 3

Vậy ta có đpcm



#3
xuantungjinkaido

xuantungjinkaido

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 109 Bài viết

Bạn giải thích rõ hơn được ko vì sao từ trường hợp 1=>trường hợp 3 đúng được?



#4
LuaMi

LuaMi

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 46 Bài viết

thì từ trường hợp 1 có $2^r+1$ không chia hết cho $2^m-1$ mà $2^r((2^m)^k-1)$ chia hết cho $2^m-1$ nên $2^n+1$ không chia hết cho $2^m-1$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh