Chủ đề này có 2 trả lời

[ineX]

Cho hai đường tròn phân biệt $(O_{1})$ và $(O_{2})$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A,B$.

Gọi $PQ$ là tiếp tuyến chung là hai đường tròn, $P$ trên $(O_{1})$ và $Q$ trên $(O_{2})$.

Các tiếp tuyến tại $P,Q$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $APQ$ cắt nhau tại $S$.

Gọi $H$ là điểm đối xứng với $B$ qua $PQ$/

Chứng minh rằng: $$S,A,H$$ thẳng hàng.

[thaibuithd2001]

Lời giải của mình trong trường hợp $\Delta APQ$ nhọn (mình nghĩ tù thì cũng tương tự vậy)

Bổ đề: Cho $\triangle ABC$ bất kỳ.Điểm $K$ nằm trong tam giác sao cho $\angle KAB=\angle KBC$ và $\angle KCB=\angle KAC$.Trên $AK$ lấy điểm $U$ sao cho $\angle BUC=90^{\circ}$.chứng minh: $BV,CV$ lần lượt là 2 tia phân giác của 2 góc $\angle ABK$ và $\angle ACK$. (bổ đề này có trong tài liệu về hàng điểm điều hòa của $kimluan$ nên mình xin phép không chứng minh lại).

Quay lại bài toán: Không mất tính tổng quát giả sử $R_{1} \geqslant R_{2}$

                               Gọi $V$ là điểm trên $AB$ sao cho $\angle PVQ=90^{\circ}$

                                $AB \cap PQ=T$

Dễ thấy $T$ là trung điểm của $QP$

Do $H$ đối xứng với $B$ qua $QP$ nên $QH=QB$ và $\angle PQH=\angle PQB$

Theo bổ đề ta có $QV,PV$ lần lượt là phân giác của $\angle AQB$ và $\angle APB$ do đó: $\frac{QH}{QA}=\frac{QB}{QA}=\frac{VB}{VA}=\frac{PB}{PA}$  

 $\triangle PTB \sim \triangle ATP$ nên $\frac{PB}{PA}=\frac{PT}{AT}$ => $\frac{QH}{QA}=\frac{TP}{TA}$ $(1)$

$\angle AQH=\angle AQP+\angle PQH=\angle AQP+\angle PQB=\angle AQP+\angle QAB=\angle ATP$ $(2)$

Từ $(1),(2)$ ta có $\triangle AQH \sim \triangle ATP$ => $\angle QAH=\angle TAP$ 

Mà $AT$ là trung tuyến của $\triangle QAP$ nên $AH$ là đường đối trung của $\triangle AQP$ 

Mặt khác, $AS$ cũng là đường đối trung của $\triangle AQP$ nên $\overline{A,H,S}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thaibuithd2001: 04-05-2016 - 15:10

[Hoang Nhat Tuan]

$AS$ cắt $(APQ)$ tại $H'$ thì vì $AS$ là đường đối trung của tam giác $APQ$ nên $\widehat{PAH'}=\widehat{BAQ}$ (vì $AB$ cắt $PQ$ tại trung điểm $PQ$, có thể dùng phương tích để chứng minh).

Mặt khác $\widehat{PAH'}=\widehat{PQH'}$ và $\widehat{BQP}=\widehat{BAQ}$ nên $\widehat{H'QP}=\widehat{BQP}$

Tương tự thì $\widehat{BPQ}=\widehat{H'PQ}$.

Từ đó suy ra $B$ và $H'$ đối xứng nhau qua $PQ$ dẫn đến ĐPQM