Cho $x,y,z$ là các số thực ko âm. Chứng minh :
$$x^2+y^2+z^2+\sqrt{xyz}( \sqrt x + \sqrt y +\sqrt z) \ge 2(xy+yz+zx)$$
Cho $x,y,z$ là các số thực ko âm. Chứng minh :
$$x^2+y^2+z^2+\sqrt{xyz}( \sqrt x + \sqrt y +\sqrt z) \ge 2(xy+yz+zx)$$
Cho $x,y,z$ là các số thực ko âm. Chứng minh :
$$x^2+y^2+z^2+\sqrt{xyz}( \sqrt x + \sqrt y +\sqrt z) \ge 2(xy+yz+zx)$$
Theo bất đẳng thức Schur, ta có:
$$x(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{z})+y(\sqrt{y}-\sqrt{z})(\sqrt{y}-\sqrt{x})+z(\sqrt{z}-\sqrt{x})(\sqrt{z}-\sqrt{y}) \geq 0$$
$$\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+\sqrt{xyz}(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}) \geq x\sqrt{xy}+x\sqrt{zx}+y\sqrt{xy}+y\sqrt{yz}+z\sqrt{zx}+z\sqrt{yz}$$
Mặt khác, theo bất đẳng thức AM-GM thì:
$$x\sqrt{xy}+y\sqrt{xy} \geq 2xy$$
$$y\sqrt{yz}+z\sqrt{yz} \geq 2yz$$
$$x\sqrt{zx}+z\sqrt{zx} \geq 2zx$$
Bài toán được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z$.
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh