Đến nội dung

Hình ảnh

$x^2+y^2+z^2+\sqrt{xyz}( \sqrt x + \sqrt y +\sqrt z) \ge 2(xy+yz+zx)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
cyndaquil

cyndaquil

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 63 Bài viết

Cho $x,y,z$ là các số thực ko âm. Chứng minh :

$$x^2+y^2+z^2+\sqrt{xyz}( \sqrt x + \sqrt y +\sqrt z) \ge 2(xy+yz+zx)$$



#2
Quoc Tuan Qbdh

Quoc Tuan Qbdh

    DragonBoy

  • Điều hành viên THCS
  • 1005 Bài viết

Cho $x,y,z$ là các số thực ko âm. Chứng minh :

$$x^2+y^2+z^2+\sqrt{xyz}( \sqrt x + \sqrt y +\sqrt z) \ge 2(xy+yz+zx)$$

Theo bất đẳng thức Schur, ta có: 

$$x(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{z})+y(\sqrt{y}-\sqrt{z})(\sqrt{y}-\sqrt{x})+z(\sqrt{z}-\sqrt{x})(\sqrt{z}-\sqrt{y}) \geq 0$$

$$\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+\sqrt{xyz}(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}) \geq x\sqrt{xy}+x\sqrt{zx}+y\sqrt{xy}+y\sqrt{yz}+z\sqrt{zx}+z\sqrt{yz}$$

Mặt khác, theo bất đẳng thức AM-GM thì:

$$x\sqrt{xy}+y\sqrt{xy} \geq 2xy$$

$$y\sqrt{yz}+z\sqrt{yz} \geq 2yz$$

$$x\sqrt{zx}+z\sqrt{zx} \geq 2zx$$

Bài toán được chứng minh. 

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z$.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh