Đến nội dung

Hình ảnh

Min A=$\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{\sqrt{xy}}{x+y}$

bất đẳng thức

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
vanhpcr007

vanhpcr007

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 6 Bài viết

cho $x;y;z >0$ và $(x+y-1)^{2}=xy$

tìm Min A=$\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{\sqrt{xy}}{x+y}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 04-05-2016 - 15:27


#2
dunghoiten

dunghoiten

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 123 Bài viết

cho $x;y;z >0$ và $(x+y-1)^{2}=xy$

tìm Min A=$\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{\sqrt{xy}}{x+y}$

 

$GT\iff x^2+y^2+1+2xy-2x-2y=xy \iff (x-1)^2+(y-1)^2=1-xy \rightarrow xy \leq 1$

 

$\rightarrow (x+y-1)^2 \leqslant 1 \iff (x+y-2)(x+y) \leqslant 0 \rightarrow x+y  \leqslant 2$

 

Ta có: $A=\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{\sqrt{xy}}{x+y}$

 

$=\dfrac{1}{2xy}+(\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{x^2+y^2})+\dfrac{(x+y)\sqrt{xy}}{(x+y)^2}$

 

$\geqslant \dfrac{1}{2xy}+\dfrac{4}{(x+y)^2}+\dfrac{2xy}{(x+y)^2}$

 

$=(\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{2xy}{(x+y)^2})+\dfrac{4}{(x+y)^2}$

 

$\geqslant \dfrac{2}{x+y}+\dfrac{4}{(x+y)^2}$

 

$\geqslant \dfrac{2}{2}+\dfrac{4}{2^2}$

 

$=2$

 

Vậy $MIN_A=2 \iff x=y=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dunghoiten: 05-05-2016 - 16:26

   tumblr_nsj13dqhY81u55xnmo4_500.gif

 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh