cho $x;y;z >0$ và $(x+y-1)^{2}=xy$
tìm Min A=$\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{\sqrt{xy}}{x+y}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 04-05-2016 - 15:27
cho $x;y;z >0$ và $(x+y-1)^{2}=xy$
tìm Min A=$\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{\sqrt{xy}}{x+y}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 04-05-2016 - 15:27
cho $x;y;z >0$ và $(x+y-1)^{2}=xy$
tìm Min A=$\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{\sqrt{xy}}{x+y}$
$GT\iff x^2+y^2+1+2xy-2x-2y=xy \iff (x-1)^2+(y-1)^2=1-xy \rightarrow xy \leq 1$
$\rightarrow (x+y-1)^2 \leqslant 1 \iff (x+y-2)(x+y) \leqslant 0 \rightarrow x+y \leqslant 2$
Ta có: $A=\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{\sqrt{xy}}{x+y}$
$=\dfrac{1}{2xy}+(\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{x^2+y^2})+\dfrac{(x+y)\sqrt{xy}}{(x+y)^2}$
$\geqslant \dfrac{1}{2xy}+\dfrac{4}{(x+y)^2}+\dfrac{2xy}{(x+y)^2}$
$=(\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{2xy}{(x+y)^2})+\dfrac{4}{(x+y)^2}$
$\geqslant \dfrac{2}{x+y}+\dfrac{4}{(x+y)^2}$
$\geqslant \dfrac{2}{2}+\dfrac{4}{2^2}$
$=2$
Vậy $MIN_A=2 \iff x=y=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dunghoiten: 05-05-2016 - 16:26
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh