Chủ đề này có 1 trả lời

[xuantungjinkaido]

Tam giác ABC nội tiếp (O),tâm ngoại tiếp I.AI cắt BC tại D.AI cắt (O) tại E,K và L là tâm nội tiếp tam giác DEB,DEC.P đối xứng I qua KL.Chứng minh rằng BP vuông góc PC

[vkhoa]

Tam giác ABC nội tiếp (O),tâm ngoại tiếp I.AI cắt BC tại D.AI cắt (O) tại E,K và L là tâm nội tiếp tam giác DEB,DEC.P đối xứng I qua KL.Chứng minh rằng BP vuông góc PC

Ta có $\widehat{IBK} =\widehat{IBD} +\widehat{DBK}$ (1)
$\widehat{IBD}=\frac{\widehat{ABD}}2$ (2)
$\widehat{DBK} =\frac{\widehat{DBE}}2 =\frac{\widehat{DAC}}2 =\frac{\widehat{BAD}}2$ (3)
từ (1, 2, 3)$\Rightarrow\widehat{IBK} =\frac{\widehat{BDE}}2 =\widehat{KDE}$
$\Rightarrow$ BIDK nội tiếp
có $\widehat{KBI} =\widehat{KDE} =\widehat{KDB} =\widehat{KIB}$
$\Rightarrow$ KI =KB
$\Rightarrow$ K là tâm ngoại tiếp của IBP
chứng minh tương tự như trên, ta có CIDL nội tiếp
$\Rightarrow$ L là tâm ngoại tiếp của ICP
có $\widehat{BKP} +\widehat{CLP}$
$=2\widehat{BIP} +2\widehat{CIP} =2\widehat{BIC}$
$=2(180^\circ -\widehat{IBC} -\widehat{ICB})$
$\Rightarrow\widehat{IBC} +\widehat{ICB}$
$=(90^\circ -\frac{\widehat{BKP}}2) +(90^\circ -\frac{\widehat{CLP}}2)$
$=\widehat{KPB} +\widehat{LPC} =\widehat{BPC} -\widehat{KPL}$
$\Leftrightarrow\widehat{BPC} =\widehat{IBC} +\widehat{ICB} +\widehat{KPL}$ (4)
mặt khác $\widehat{KPL} =\widehat{KIL}$
$=\widehat{DIK} +\widehat{DIL}$
$=\widehat{DBK} +\widehat{DCL}$ (5)
từ (4, 5)$\Rightarrow\widehat{BPC} =\frac{\widehat{ABC}}2 +\frac{\widehat{ACB}}2 +\frac{\widehat{CBE}}2 +\frac{\widehat{BCE}}2$
$=\frac{\widehat{ABE}}2 +\frac{\widehat{ACE}}2 =90^\circ$ (đpcm)

Hình gửi kèm

•