Chủ đề này có 5 trả lời

[nhatanh2000]

Cho:$1\geq a;b;c> 0$ . chứng minh rằng: $\frac{1}{a+b+c}\geq \frac{1}{3}+(1-a)(1-b)(1-c)$

[NTA1907]

Cho:$1\geq a;b;c> 0$ . chứng minh rằng: $\frac{1}{a+b+c}\geq \frac{1}{3}+(1-a)(1-b)(1-c)$

Không mất tính tổng quát ta giả sử $1\geq a\geq b\geq c> 0$

Ta có: $(1-b)(1-c)(1+b+c)\leq \left ( \frac{1-b+1-c+1+b+c}{3} \right )^{3}=1$

$\Rightarrow (1-b)(1-c)\leq \frac{1}{1+b+c} \Rightarrow (1-a)(1-b)(1-c)\leq \frac{1-a}{1+b+c}\leq \frac{1-a}{a+b+c}$

Ta chứng minh: $\frac{1}{3}+\frac{1-a}{a+b+c}\leq \frac{1}{a+b+c}$

$\Leftrightarrow 3+(b-a)+(c-a)\leq 3$(luôn đúng vì $a\geq b\geq c$)

[nhatanh2000]

Không mất tính tổng quát ta giả sử $1\geq a\geq b\geq c> 0$

Ta có: $(1-b)(1-c)(1+b+c)\leq \left ( \frac{1-b+1-c+1+b+c}{3} \right )^{3}=1$

$\Rightarrow (1-b)(1-c)\leq \frac{1}{1+b+c} \Rightarrow (1-a)(1-b)(1-c)\leq \frac{1-a}{1+b+c}\leq \frac{1-a}{a+b+c}$

Ta chứng minh: $\frac{1}{3}+\frac{1-a}{a+b+c}\leq \frac{1}{a+b+c}$

$\Leftrightarrow 3+(b-a)+(c-a)\leq 3$(luôn đúng vì $a\geq b\geq c$)

dấu = xảy ra khi nào vậy bạn?

[NTA1907]

dấu = xảy ra khi nào vậy bạn?

Dấu = xảy ra khi a=b=c=1

[nhatanh2000]

Không mất tính tổng quát ta giả sử $1\geq a\geq b\geq c> 0$

Ta có: $(1-b)(1-c)(1+b+c)\leq \left ( \frac{1-b+1-c+1+b+c}{3} \right )^{3}=1$

$\Rightarrow (1-b)(1-c)\leq \frac{1}{1+b+c} \Rightarrow (1-a)(1-b)(1-c)\leq \frac{1-a}{1+b+c}\leq \frac{1-a}{a+b+c}$

Ta chứng minh: $\frac{1}{3}+\frac{1-a}{a+b+c}\leq \frac{1}{a+b+c}$

$\Leftrightarrow 3+(b-a)+(c-a)\leq 3$(luôn đúng vì $a\geq b\geq c$)

đoạn tô đỏ dấu = không xảy ra khi b=c =1 ==> sai 

[NTA1907]

đoạn tô đỏ dấu = không xảy ra khi b=c =1 ==> sai 

Sau đó ta nhân với một biểu thức =0 là a-1 nên bất đẳng thức vẫn đúng