Tìm đa thức $P(x)$ với hệ số nguyên sao cho $\sqrt[5]{2}+\frac{1}{\sqrt[5]{2}}$ là nghiệm của $P(x)$
#1
Đã gửi 04-05-2016 - 22:43
#2
Đã gửi 05-05-2016 - 10:50
Lời giải;
Đặt ẩn phụ: $ t = \sqrt[5]{2}$, ta có $t^5 =2$
$ \implies (t^5-2) \left( t^5 - \frac{1}{2} \right) = 0$
$ \implies t^{10} -\frac{5}{2} t^5 +1 = 0$
$ \implies t^5 +\frac{1}{ t^5 } = \frac{5}{2} (*) $
Đến đây, việc còn lại chỉ là đi tìm đa thức hệ số hữu tỷ $ \mathbb{Q} (x)$ thỏa mãn
$ \mathbb{Q} \left( x + \frac{1}{x} \right) = x^5 + \frac{1}{ x^5} $
Điều này hoàn toàn có thể thông qua phương pháp hệ số bất định,
Để ý:
$ \left( x + \frac{1}{x} \right)^5 = x^5 + \frac{1}{ x^5} + 5 \left( x^3 + \frac{1}{x^3} \right) + 10 \left( x + \frac{1}{x} \right)$
$ \left( x + \frac{1}{x} \right)^3 = x^3 + \frac{1}{ x^3 }+ 3 \left( x + \frac{1}{x} \right) $
Suy ra $ \left( x + \frac{1}{x} \right)^5 - 5 \left( x + \frac{1}{x} \right)^3 + 5 \left( x + \frac{1}{x} \right) =x^5 + \frac{1}{ x^5} (**)$
Suy ra đa thức $ \mathbb{T} (t) = t^5 - 5t^3 + 5t - \frac{5}{2}$ sẽ thỏa mãn $ \mathbb{T} ( \sqrt[5]{2} + \frac{1}{\sqrt[5]{2}}) =0$ , Theo $(*); (**)$
Từ đây suy ra đa thức hệ số nguyên thỏa đề:
$ 2t^5 - 10t^3 + 10t -5$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 05-05-2016 - 11:50
- tritanngo99 yêu thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: dthuc
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Đa thức →
Chứng minh rằng tồn tại số nguyên $a$ sao cho $f(a)$ chia hết cho $3^{2014}$Bắt đầu bởi tritanngo99, 23-05-2016 dthuc |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh