Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm đa thức $P(x)$ với hệ số nguyên

- - - - - dthuc

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1644 Bài viết

Tìm đa thức $P(x)$ với hệ số nguyên sao cho $\sqrt[5]{2}+\frac{1}{\sqrt[5]{2}}$ là nghiệm của $P(x)$ 



#2
supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1644 Bài viết

Lời giải;

 

Đặt ẩn phụ: $ t = \sqrt[5]{2}$, ta có $t^5 =2$

 

$ \implies (t^5-2) \left( t^5 - \frac{1}{2} \right) = 0$

 

$ \implies t^{10} -\frac{5}{2} t^5 +1 = 0$

 

$ \implies t^5 +\frac{1}{ t^5 } = \frac{5}{2}   (*) $

 

Đến đây, việc còn lại chỉ là đi tìm đa thức hệ số hữu tỷ $ \mathbb{Q} (x)$ thỏa mãn

 

$ \mathbb{Q} \left( x + \frac{1}{x} \right) = x^5 + \frac{1}{ x^5} $

 

Điều này hoàn toàn có thể thông qua phương pháp hệ số bất định,

 

Để ý:

 

$ \left( x + \frac{1}{x} \right)^5 = x^5 + \frac{1}{ x^5} + 5 \left( x^3 + \frac{1}{x^3} \right) + 10 \left( x + \frac{1}{x} \right)$

 

$ \left( x + \frac{1}{x} \right)^3 = x^3 + \frac{1}{ x^3 }+ 3 \left( x + \frac{1}{x} \right) $

 

Suy ra $ \left( x + \frac{1}{x} \right)^5 - 5 \left( x + \frac{1}{x} \right)^3 + 5 \left( x + \frac{1}{x} \right) =x^5 + \frac{1}{ x^5}  (**)$

 

Suy ra đa thức $ \mathbb{T} (t) = t^5 - 5t^3 + 5t - \frac{5}{2}$  sẽ thỏa mãn $ \mathbb{T} ( \sqrt[5]{2} + \frac{1}{\sqrt[5]{2}}) =0$ , Theo $(*); (**)$

 

Từ đây suy ra đa thức hệ số nguyên thỏa đề:

 

$ 2t^5 - 10t^3 + 10t -5$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 05-05-2016 - 11:50

Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: dthuc

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh