Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp $(I)$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm $BC,CA,AB$. Qua $M$ kẻ tiếp tuyến thứ hai với $(I)$ cắt $PN$ tại $X$, các điểm $Y,Z$ được xác định tương tự thuộc $PM$ và $MN$. CMR: $X,Y,Z$ thẳng hàng
$X,Y,Z$ thẳng hàng
#1
Đã gửi 04-05-2016 - 23:02
- xuantrandong, Nguyen Dinh Hoang, ineX và 1 người khác yêu thích
#2
Đã gửi 05-05-2016 - 01:00
Mình chỉ mới chứng minh được trong trường hợp $M,N,P$ là trung điểm của $BC,CA,AB$
Mình giải như sau:
Gọi
$\odot (I)$ là đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$
$\odot (I')$ là đường tròn nội tiếp $\Delta MNP$
$V$ là tiếp điểm của $\odot (I')$ và $NP$
$Q$ là tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp $\angle A$ và $BC$
$D$ là tiếp điểm của $\odot (I)$ và $BC$
$T$ là giao điểm của $AQ$ và $\odot (I)$ thì dễ chứng minh được $MT$ là tiếp tuyến của $\odot (I)$
Do $\Delta ABC$ đồng dạng $\Delta MNP$ nên:
$\frac{VN}{VP} = \frac{DB}{DC} =\frac{QC}{QB}$ nên $A$, $V$, $Q$ thẳng hàng
suy ra bốn điểm $A,V,T,Q$ thẳng hàng
ta có $\angle XVT = \angle AVP=\angle AQB=\angle MTQ=\angle VTX$ nên $\Delta XVT$ cân tại $X$ => $XV=XT$
nên $X$ thuộc trục đẳng phương của $\odot (I)$ và $\odot (I')$
tương tự $Y$ và $Z$ cũng thuộc trục đẳng phương của $\odot (I)$ và $\odot (I')$
nên $X, Y, Z$ thẳng hàng
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xuantrandong: 05-05-2016 - 10:03
- viet nam in my heart, Nguyen Dinh Hoang, ineX và 1 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 05-05-2016 - 11:47
Mình chỉ mới chứng minh được trong trường hợp $M,N,P$ là trung điểm của $BC,CA,AB$
Mình giải như sau:
Gọi
$\odot (I)$ là đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$
$\odot (I')$ là đường tròn nội tiếp $\Delta MNP$
$V$ là tiếp điểm của $\odot (I')$ và $NP$
$Q$ là tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp $\angle A$ và $BC$
$D$ là tiếp điểm của $\odot (I)$ và $BC$
$T$ là giao điểm của $AQ$ và $\odot (I)$ thì dễ chứng minh được $MT$ là tiếp tuyến của $\odot (I)$
Do $\Delta ABC$ đồng dạng $\Delta MNP$ nên:
$\frac{VN}{VP} = \frac{DB}{DC} =\frac{QC}{QB}$ nên $A$, $V$, $Q$ thẳng hàng
suy ra bốn điểm $A,V,T,Q$ thẳng hàng
ta có $\angle XVT = \angle AVP=\angle AQB=\angle MTQ=\angle VTX$ nên $\Delta XVT$ cân tại $X$ => $XV=XT$
nên $X$ thuộc trục đẳng phương của $\odot (I)$ và $\odot (I')$
tương tự $Y$ và $Z$ cũng thuộc trục đẳng phương của $\odot (I)$ và $\odot (I')$
nên $X, Y, Z$ thẳng hàng
Lời giải của mình cũng tương tự như lời giải của bạn. Trường hợp $M,N,P$ là trung điểm là một trường hợp đơn giản nhất cũng như có lời giải đẹp nhất cho bài toán này. Bài này có thể tổng quát không chỉ là trung điểm, chân đường cao mà bài toán còn đúng khi $M,N,P$ bất kỳ nằm trên $AB,BC,CA$ thỏa mãn $AM,BN,CP$ đồng quy tại một điểm. Khi đó $X,Y,Z$ vẫn thẳng hàng nhưng ta có một bài toán khó hơn
- xuantrandong, Namichan và lucifer97 thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh