Chủ đề này có 1 trả lời

[leenguyenlhp]

tìm các số x,y nguyên dương 

$\left ( x^{2}-2 \right )\vdots \left ( xy+2 \right )$

[Minhnguyenthe333]

tìm các số x,y nguyên dương
$\left ( x^{2}-2 \right )\vdots \left ( xy+2 \right )$

Đặt $k=\frac{x^2-2}{xy+2}$ $(k\in \mathbb{N^*})$
Xét $x=1$ và $x=2$ thì $k$ không là số nguyên dương
Xét $x>2$:
$PT<=>kxy+2k=x^2-2<=>kxy+2(k+1)=x^2$$<=>x=ky+\frac{2(k+1)}{x}$.
Do $x>2$ nên $k+1\vdots x$ hoặc $k+1\vdots \frac{x}{2}$

$TH1: k+1\vdots x$
$k=\frac{x^2-2}{xy+2}<=>\frac{k+1}{x}=\frac{x+y}{xy+2}$

$=>x+y\vdots xy+2<=>x+y\geqslant xy+2<=>x-1\geqslant y(x-1)+1$

$<=>(x-1)(1-y)\geqslant 1>0<=>y<1$ (vô lí)

$TH2: k+1\vdots \frac{x}{2}$
Tương tự$=>\frac{k+1}{\frac{x}{2}}=\frac{2(x+y)}{xy+2}$

$=>2(x+y)\vdots xy+2<=>2(x+y)\geqslant xy+2$

$=>2(x-2)\geqslant y(x-2)-2<=>2\geqslant (x-2)(y-2)>0$

Xét từng trường hợp suy ra $(x,y)=(4,3)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 05-05-2016 - 17:49