Đến nội dung

Hình ảnh

CMR : $a^2 + b^2 + c^2 + 3 \geq 2(ab+bc+ca)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
NAGATOPain

NAGATOPain

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 23 Bài viết

Cho a,b,c là 3 số dương thỏa mãn : abc = 1.

Chứng minh rằng : 

$a^2 + b^2 + c^2 + 3 \geq 2(ab+bc+ca)$


             I don't do anything I don't have to. What I have to do, I do quickly.

                                                                        


#2
Nam Duong

Nam Duong

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
ta có $abc \le \frac{(\sum a)^3}{27}\rightarrow \sum a \ge 3$
 
 mà $(\sum a)^2 \ge 3\sum ab \rightarrow \sum ab \le 3$
mặt khác $\sum a^2 \ge \sum ab$
công các bdt cùng chiều có dpcm
dấu "=" tại $(a;b;c)(1;1;1)$ 


#3
CaptainCuong

CaptainCuong

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 212 Bài viết

 Cách khác:

Ta có BĐT sau: $a^2+b^2+c^2+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$

Chứng minh:

Xét 3 số: $a-1;b-1;c-1$ luôn tồn tại 2 số cùng dấu

Gỉa sử là $a-1;b-1$

$\Rightarrow c(a-1)(b-1)\geq 0\Rightarrow abc\geq cb+ac-c$

$BDT\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+1-2ab-2c\geq 0\Leftrightarrow (a-b)^2+(c-1)^2\geq 0$(luôn đúng)



#4
O0NgocDuy0O

O0NgocDuy0O

    Trung úy

  • Thành viên
  • 760 Bài viết

 

ta có $abc \le \frac{(\sum a)^3}{27}\rightarrow \sum a \ge 3$
 
 mà $(\sum a)^2 \ge 3\sum ab \rightarrow \sum ab \le 3$
mặt khác $\sum a^2 \ge \sum ab$
công các bdt cùng chiều có dpcm
dấu "=" tại $(a;b;c)(1;1;1)$ 

 

Cho mình hỏi dòng 2 xíu:

$ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}$ mà $a+b+c\geq 3$ thì sao bạn có được $ab+bc+ca\leq 3$ vậy???


"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O)  ~O)  ~O)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh