Chủ đề này có 4 trả lời

[qnhipy001]

cho x,y,z dương thay đổi sao cho x+y+z=k(k là hằng số). tìm x,y,z để $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ đạt giá trị nhỏ nhất

[trambau]

vì x,y,z dương nên 1/x,1/y,1/z dương

Áp dụng bđt AM-GM ta có:

$9x+\frac{1}{x}\geq 2\sqrt{\frac{9x}{x}}=6$

$9y+\frac{1}{y}\geq 6$

$9z+\frac{1}{z}\geq 6$

cộng 2 vế của bđt ta được

$9(x+y+z)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 18$

mà x+y+z= k nên ta được

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{2}{k}$

vậy min $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}= \frac{2}{k}$

p/s: mình ngu bđt nên ko bít đúng ko

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trambau: 05-05-2016 - 15:39

[the unknown]

cho x,y,z dương thay đổi sao cho x+y+z=k(k là hằng số). tìm x,y,z để $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ đạt giá trị nhỏ nhất

Có $\sum( \frac{9x}{k^2}+\frac{1}{x})\geq \frac{18}{k}\Rightarrow \frac{9}{k^2}\sum x+\sum \frac{1}{x}\geq \frac{18}{k}\Rightarrow \sum \frac{1}{x}\geq \frac{9}{k}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{k}{3}$

Đây là cách làm theo bất đẳng thức $Cauchy$ nếu theo cách làm của bạn trambau

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi the unknown: 05-05-2016 - 17:10

[O0NgocDuy0O]

cho x,y,z dương thay đổi sao cho x+y+z=k(k là hằng số). tìm x,y,z để $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ đạt giá trị nhỏ nhất

Vì $x,y,z$ dương nên: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}=\frac{9}{k}.$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{k}{3}.$

[quangtq1998]

vì x,y,z dương nên 1/x,1/y,1/z dương
Áp dụng bđt AM-GM ta có:
$9x+\frac{k}{x}\geq 2\sqrt{\frac{9x}{x}}=6$
$9y+\frac{1}{y}\geq 6$
$9z+\frac{1}{z}\geq 6$
cộng 2 vế của bđt ta được
$9(x+y+z)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 18$
mà x+y+z= k nên ta được
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{2}{k}$
vậy min $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}= \frac{2}{k}$
p/s: mình ngu bđt nên ko bít đúng ko

Mình nghĩ bạn cần sửa lại đôi chút

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangtq1998: 06-05-2016 - 08:14