Tìm tất cả các bộ số nguyên dương (x;y;z) thỏa mãn $\frac{x+y\sqrt{2013}}{y+z\sqrt{2013}}$ là số hữu tỉ, đồng thời $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ là số nguyên tố
$\frac{x+y\sqrt{2013}}{y+z\sqrt{2013}}$ là số hữu tỉ, đồng thời $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ là số nguyên tố
Bắt đầu bởi hien2000a, 05-05-2016 - 21:09
#1
Đã gửi 05-05-2016 - 21:09
hien2000a
-
- Thành viên
-
- 234 Bài viết
Thượng sĩ
#2
Đã gửi 05-05-2016 - 21:50
Minhnguyenthe333
-
- Thành viên
-
- 804 Bài viết
Trung úy
Do $\frac{x+y\sqrt{2013}}{y+z\sqrt{2013}}$ là số hữu tỉTìm tất cả các bộ số nguyên dương (x;y;z) thỏa mãn $\frac{x+y\sqrt{2013}}{y+z\sqrt{2013}}$ là số hữu tỉ, đồng thời $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ là số nguyên tố
$=>\frac{x+y\sqrt{2013}}{y+z\sqrt{2013}}=\frac{a}{b}$ $(a,b\in N^*)$
$<=>bx+by\sqrt{2013}=ay+az\sqrt{2013}$
$<=>\sqrt{2013}(by-az)=ay-bx$
Nếu $by-az=0$ và $ay-bx=0$ thì $\frac{a}{b}=\frac{y}{z}=\frac{x}{y}$
$<=>xz=y^2<=>(x,y,z)=(tm^2,tmn,tn^2)$ với $(t,m,n\in \mathbb{N^*})$
Nếu khác $0$ thì $\sqrt{2013}=\frac{ay-bx}{by-az}$ là số hữu tỉ (vô lí)
mà $x^2+y^2+z^2=t^2(m^4+m^2n^2+n^4)$ là số nguyên tố
$=>(x,y,z)=(1,1,1)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 05-05-2016 - 22:05
- Ngoc Hung, hoicmvsao, Tea Coffee và 3 người khác yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
